Аппроксимации эллиптических интегралов

Эллиптические интегралы не выражаются через элементарные функции. По определению, элементарные функции — функции, определяемые формулами, содержащими конечное число алгебраических или тригонометрических операций, производимых над аргументом, функцией и некоторыми постоянными.

Эллиптические интегралы в лежандровой форме 1-го, 2-го и 3-го родов , а также интегралы, сходные с ними (с заменой знаков плюс на минус и/или с заменой cos на sin или наоборот) точно представимы функциональным рядом. Такое представление не является элементарной функцией ввиду бесконечного числа членов этого ряда.

Руководствуясь соображениями достижения необходимой точности и, взяв в расчёт n начальных членов ряда и пренебрегая остатком, то есть суммой остальных членов ряда от n+1 до ∞, получим аппроксимацию (определённого или неопределённого) эллиптического интеграла в виде элементарной функции. Аппроксимации эллиптических интегралов применяются аналогично обычным интегралам.

Определённый интеграл 1-го рода можно представить в виде:

$\underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}=\sqrt{1+E}(\phi -\frac{E\sin 2\phi }{4}+...){|}_{{\phi }_1}^{{\phi }_2};$

$(\epsilon \approx 4,2\cdot 10^{-6};{\mu }_{\epsilon }(2)\approx 330).$

Здесь и далее в формулах применяются следующие обозначения:

$E=\frac{k^2}{2-k^2};N=\frac{h}{2+h};$

${\epsilon }_0=\left|\frac{F(\phi )\underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\mid }}-\underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\int }}f(\phi )d\phi }{\underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\int }}f(\phi )d\phi }\right|$ — расчётная относительная погрешность вычисления эллиптических интегралов по указанным формулам для эллипсов, подобных меридиональному земному (k²=0,006693 и h=0,006674).

$\epsilon ={\epsilon }_{0max}$ — максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы в диапазоне углов $\mathrm{\Delta }\phi ={\phi }_2-{\phi }_1<\frac{\pi }{2}.$

${\mu }_{\epsilon }(m)$ — число, указывающее, во сколько раз уменьшится максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы, если добавить $m$ неуказанных членов в её формулу разложения.

Определённый интеграл 2-го рода представи́м в виде:

$\underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }d\phi =\frac{1}{\sqrt{1+E}}(\phi +\frac{E\sin 2\phi }{4}+...){|}_{{\phi }_1}^{{\phi }_2};$

$(\epsilon \approx 1,4\cdot 10^{-6};{\mu }_{\epsilon }(2)\approx 500).$

Длина дуги эллипса с единичной большой полуосью:

$\underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\int }}\sqrt{1-k^2{\cos }^2\phi }d\phi =\frac{1}{\sqrt{1+E}}(\phi -\frac{E\sin 2\phi }{4}+...){|}_{{\phi }_1}^{{\phi }_2};$

$(\epsilon \approx 1,4\cdot 10^{-6};{\mu }_{\epsilon }(2)\approx 500).$

Определённый интеграл 3-го рода можно записать в виде:

$\underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\int }}\frac{d\phi }{(1+h\cdot {\sin }^2\phi )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}=$

$=\frac{\sqrt{1+E}}{2+h}\cdot (\frac{2+h}{\sqrt{1+h}}\mathrm{arctg}(\sqrt{1+h}\cdot \mathrm{tg}\phi )(1-\frac{E}{2N}+...)+\phi \cdot (\frac{E}{N}+...)+...){|}_{{\phi }_1}^{{\phi }_2};$

$(\epsilon \approx 4,2\cdot 10^{-6};{\mu }_{\epsilon }(3)\approx 330).$

Пример

Для вычисления длины дуги геодезической линии на поверхности земного сфероида требуется вычисление определённого интеграла вида:

$\underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\int }}\frac{d\phi }{(1+h\cdot {\cos }^2\phi )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}=$

$=\frac{\sqrt{1+E}}{2+h}\cdot (\frac{2+h}{\sqrt{1+h}}\text{arctg}\left(\frac{\text{tg}\phi }{\sqrt{1+h}}\right)(1+\frac{E}{2N}+...)-\phi (\frac{E}{N}+...)+...){|}_{{\phi }_1}^{{\phi }_2};$

$(\epsilon \approx 4,2\cdot 10^{-6};{\mu }_{\epsilon }(3)\approx 330).$

См. также

• Численное интегрирование