Правило Лопиталя

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида $0/0$ и $\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка

Шаблон:Основной источник Теорема Лопиталя:

Если: $f(x),g(x)$ — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности $U$ точки $a$, где $a$ — действительное число или один из символов $+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$, причём

1. $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0$ или $\mathrm{\infty }$;
2. $g^{\prime }(x)\ne 0$ в $U$;
3. существует $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$;

тогда существует $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$.

Пределы также могут быть односторонними.

История

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.

Примеры

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+5x}{3x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x+5}{3}=\frac{5}{3}$

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^3+4x^2+7x+9}{x^3+3x^2}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x^2+8x+7}{3x^2+6x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{6x+8}{6x+6}=\frac{6}{6}=1$
  Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на $x$ в наибольшей степени(в нашем случае $x^3$). В этом примере получается:

  $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+4/x+7/x^2+9/x^3}{1+3/x}=\frac{1}{1}=1$

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{x^a}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{a\cdot x^{a-1}}=\dots =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{a!}=+\mathrm{\infty }$ — применение правила $a$ раз;
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^a}{\ln x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a{x}^{a-1}}{\frac{1}{x}}=a\cdot \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^a=+\mathrm{\infty }$ при $a>0$;
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2}dt}{x^{-1}{e}^{-x^2}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{-e^{-x^2}}{-x^{-2}{e}^{-x^2}(1+2x^2)}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{1+2x^2}=\frac{1}{2}$.

Контрпример

В некоторых ситуациях правило Лопиталя может не дать ожидаемого результата, так как существование предела отношения производных $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ не вытекает из существования предела отношения самих функций. Пример:

отношение $\frac{x+\sin (x)}{x}$ имеет предел в бесконечности (единица), но у отношения производных предела нет.

Следствие

Простое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в проколотой окрестности точки $a$, а в самой этой точке она непрерывна и имеет предел производной $\underset{x\to a}{\lim }{f}^{\prime }(x)=A$. Тогда функция $f(x)$ дифференцируема и в самой точке $a$, и $f^{\prime }(a)=A$ (то есть, производная $f^{\prime }(x)$ непрерывна в точке $a$).

Для доказательства достаточно применить правило Лопиталя к отношению $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.

См. также

Аналогом правила Лопиталя для последовательностей вещественных чисел является Теорема Штольца.

Литература

• Шаблон:Книга