Раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

$(\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty })$

$\left(\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\right)$

$\left(\frac{0}{0}\right)$

$(0\cdot \mathrm{\infty })$

$\left(0^0\right)$

$\left({\mathrm{\infty }}^0\right)$

$\left(1^{\mathrm{\infty }}\right)$

(Здесь $0$ — бесконечно малая величина, $\mathrm{\infty }$ — бесконечно большая величина, 1 — бесконечно близкое к числу 1 выражение)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов $\left(0^0\right)$, $\left(1^{\mathrm{\infty }}\right)$, $\left({\mathrm{\infty }}^0\right)$ пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

$\left(0^0\right)=\left(e^{0\cdot \ln 0}\right)=\left(e^{0\cdot (-\mathrm{\infty })}\right)$

$\left(1^{\mathrm{\infty }}\right)=\left(e^{\mathrm{\infty }\cdot \ln 1}\right)=\left(e^{\mathrm{\infty }\cdot 0}\right)$

$\left({\mathrm{\infty }}^0\right)=\left(e^{0\cdot \ln \mathrm{\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \mathrm{\infty }}\right)$

Для раскрытия неопределённостей типа $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;
2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа $\left(\frac{0}{0}\right)$ существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа $(\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty })$ иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть $f(x)\stackrel{x\to a}{\to }\mathrm{\infty }$ и $g(x)\stackrel{x\to a}{\to }\mathrm{\infty }$;

$\underset{x\to a}{\lim }[f(x)-g(x)]=(\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty })=\underset{x\to a}{\lim }(\frac{1}{\frac{1}{f(x)}}-\frac{1}{\frac{1}{g(x)}})=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{g(x)}\cdot \frac{1}{f(x)}}=\left(\frac{0}{0}\right)$.

Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.

При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.

Пример

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{a^x-x^a}{x-a},a>0$ — пример неопределённости вида $\left(\frac{0}{0}\right)$. По правилу Лопиталя $\underset{x\to a}{\lim }\frac{a^x-x^a}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{a^x\ln a-a{x}^{a-1}}{1}=a^a(\ln a-1)$. Второй способ — прибавить и отнять в числителе $a^a$ и дважды применить теорему Лагранжа, к функциям $a^x$ и $x^a$ соответственно:

$\frac{a^x-x^a}{x-a}=\frac{a^x-a^a-(x^a-a^a)}{x-a}=\frac{a^c\ln a(x-a)-a{d}^{a-1}(x-a)}{x-a}=a^c\ln a-a{d}^{a-1}$

здесь c, d лежат между a и x, поэтому они стремятся к a при x стремящемся к a, отсюда получаем тот же предел, что и в первом способе.