Формула конечных приращений

Приращение

Формула конечных приращений, или теорема Лагра́нжа о среднем значении, утверждает, что если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a;b]$ и дифференцируема в интервале $(a;b)$, то найдётся такая точка $c\in (a;b)$, что

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке $[a;b]$ найдётся внутренняя точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование: Пусть $f(t)$ — расстояние точки в момент $t$ от начального положения. Тогда $f(b)-f(a)$ есть путь, пройденный с момента $t=a$ до момента $t=b$, отношение $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени $t\in (a,b)$, то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.

Конечные и бесконечно малые приращения

Название «конечные приращения» объясняется, что, если в формуле $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$, левая часть $\mathrm{\Delta }y=f(b)-f(a)$ есть приращение функции, а в правой части присутствует приращение аргумента $\mathrm{\Delta }x=b-a$. В этих обозначениях формулу можно переписать как

$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(c)\mathrm{\Delta }x,$

что в свою очередь уже очень похоже на определение дифференциала:

$dy=f^{\prime }(x)dx$

с той лишь разницей, что в формуле конечных приращений у нас дана формула нахождения истинного приращения $\mathrm{\Delta }y$, но через производную $f^{\prime }(c)$ в точке $c$, которая находится где-то между $a$ и $b$. Если же в формуле $\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(c)\mathrm{\Delta }x$ устремить $\mathrm{\Delta }x$ к нулю, то в пределе мы получим $dy=f^{\prime }(x)dx$.

Приложения

• Теорема Лагранжа иногда может быть применена при раскрытии неопределённостей для нахождения пределов.

Вариации и обобщения

Теорема Лагранжа о конечных приращениях — одна из самых важных, узловая теорема во всей системе дифференциального исчисления. Она имеет массу приложений в вычислительной математике, и главнейшие теоремы математического анализа также являются её следствиями.

• Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.

Доказательство. Для любых $x$ и $y$ существует точка $c$, такая что $f(y)-f(x)=f^{\prime }(c)(y-x)=0$.

Значит, при всех $x$ и $y$ верно равенство $f(y)=f(x)$.

Замечание. Аналогично доказывается следующий важный критерий монотонности для дифференцируемых функций: Дифференцируемая функция $f(x)$ возрастает/убывает на отрезке $[a,b]$ тогда и только тогда, когда её производная $f^{\prime }(x)$ на этом отрезке неотрицательна/неположительна. При этом строгая положительность/отрицательность производной влечёт строгую монотонность функции $f(x)$.

• Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Если функция $f$ дифференцируема $n$ раз в окрестности точки $x$, то для малых $h$ (то есть тех, для которых отрезок $[x,x+h]$ лежит в указанной окрестности) справедлива формула Тейлора:

$f(x+h)=f(x)+f^{\prime }(x)h+f^{″}(x)\frac{h^2}{2}+\mathrm{...}+f^{(n-1)}(x)\frac{h^{n-1}}{(n-1)!}+f^{(n)}(x+\theta h)\frac{h^n}{n!}$

где $\theta$ — некоторое число из интервала $(0,1)$.

Замечание. Данное следствие является в то же время и обобщением. При $n=1$ из него получается сама теорема Лагранжа о конечных приращениях.

• Если функция $n$ переменных $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ дважды дифференцируема в окрестности точки О и все её вторые смешанные производные непрерывны в точке О, тогда в этой точке справедливо равенство:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}$

Доказательство для $n=2$. Зафиксируем значения $\mathrm{\Delta }x$ и $\mathrm{\Delta }y$ и рассмотрим разностные операторы

${\mathrm{\Delta }}_x:f(x,y)\to \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }x}$ и ${\mathrm{\Delta }}_y:f(x,y)\to \frac{f(x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }y}$.

По теореме Лагранжа существуют числа ${\theta }_1,{\theta }_2\in (0,1)$, такие что

${\mathrm{\Delta }}_y{\mathrm{\Delta }}_{x}f(x,y)={\mathrm{\Delta }}_y\frac{\partial f}{\partial x}(x+{\theta }_1\mathrm{\Delta }x,y)=\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x+{\theta }_1\mathrm{\Delta }x,y+{\theta }_2\mathrm{\Delta }y)\to \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$

при $(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to 0$ в силу непрерывности вторых производных функции $f(x,y)$.

Аналогично доказывается, что ${\mathrm{\Delta }}_x{\mathrm{\Delta }}_{y}f(x,y)\to \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$.

Но так как ${\mathrm{\Delta }}_y{\mathrm{\Delta }}_{x}f(x,y)={\mathrm{\Delta }}_x{\mathrm{\Delta }}_{y}f(x,y)$, (что проверяется непосредственно), то эти пределы совпадают.

Замечание. Следствием этой формулы является тождество $d^2=0$ для оператора внешнего дифференциала, определённого на дифференциальных формах.

• Формула Ньютона — Лейбница. Если функция $f(x)$ дифференцируема на отрезке $[a,b]$ и её производная интегрируема по Риману на этом отрезке, то справедлива формула: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a)$.

Доказательство. Пусть $T$ — произвольное разбиение $a=x_0<x_1<x_2<\mathrm{...}<x_n=b$ отрезка $[a,b]$. Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков $[x_{k-1},x_k]$ найдём точку ${\xi }_k$ такую, что $f^{\prime }({\xi }_k)(x_k-x_{k-1})=f(x_k)-f(x_{k-1})$.

Суммируя эти равенства, получим: $\sum _{k=1}^n{f}^{\prime }({\xi }_k)(x_k-x_{k-1})=\sum _{k=1}^n(f(x_k)-f(x_{k-1}))=f(b)-f(a)$

Слева стоит интегральная сумма Римана для интеграла $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx$ и заданного отмеченного разбиения. Переходя к пределу по диаметру разбиения, получим формулу Ньютона-Лейбница.

Замечание. Следствием (и обобщением) формулы Ньютона-Лейбница является формула Стокса, а следствием формулы Стокса является интегральная теорема Коши — основная теорема теории аналитических функций (ТФКП).

• Теорема об оценке конечных приращений. Пусть отображение $F:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m$ непрерывно дифференцируемо в выпуклой компактной области $\mathrm{\Omega }$ пространства ${ℝ}^n$. Тогда $|F(y)-F(x)|\le \underset{\xi \in \mathrm{\Omega }}{sup}|DF(\xi )|\cdot |y-x|$.

Замечание. Без использования теоремы об оценке конечных приращений не обходятся доказательства таких теорем, как теорема об обратном отображении, теорема о неявной функции, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

См. также

• Лагранж, Жозеф Луи
• Теорема Коши — расширенный вариант этой теоремы.