Теорема Коши о среднем значении

Шаблон:Другие значения Теорема Коши́ о среднем значении — обобщение формулы конечных приращений.

Формулировка

Пусть даны две функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что:

1. $f(x)$ и $g(x)$ определены и непрерывны на отрезке $[a,b]$;
2. производные $f^{\prime }(x)$ и $g^{\prime }(x)$ определены и конечны на интервале $(a,b)$;
3. производная $g^{\prime }(x)$ не обращается в нуль на интервале $(a,b)$ (значит, по теореме Ролля, $g(a)\ne g(b)$).

Тогда существует $\xi \in (a,b)$, для которой верно:

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}.$

Замечания

• Потребовав явно, что $g(a)\ne g(b)$, можно ослабить условие 3 и требовать лишь чтобы $f^{\prime }(x)$ и $g^{\prime }(x)$ не обращались одновременно в нуль на интервале $(a,b)$.
• Можно полностью опустить условие 3, если переписать формулу следующим образом:

  $(f(b)-f(a))\cdot g^{\prime }(\xi )=(g(b)-g(a))\cdot f^{\prime }(\xi )$.

• Геометрически утверждение можно переформулировать так: если $f$ и $g$ задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр $x$), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами $a$ и $b$, найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от $(f(a),g(a))$ до $(f(b),g(b))$.

Доказательство

Для доказательства введём функцию Шаблон:EF

Легко видеть(тривиально), что для неё выполнены условия теоремы Ролля. Воспользовавшись этой теоремой, получим, что существует точка $\xi \in (a,b)$, в которой производная функции $\phi$ равна нулю: Шаблон:EF Перенеся в этом равенстве второе слагаемое вправо мы получим формулу из наиболее общей формулировки теоремы.

В оригинальной формулировке остаётся разделить равенство на $g^{\prime }(\xi )$ и $g(b)-g(a)$. Оба эти числа будут ненулевыми и при ослаблении требования 3 до отсутствия общих нулей у $f^{\prime }(x)$ и $g^{\prime }(x)$: для $g(b)-g(a)$ это требуется явно, а если $g^{\prime }(\xi )=0$, то Шаблон:EF Но так как $g(a)\ne g(b)$, отсюда следует, что $f^{\prime }(\xi )=0$ — противоречие с условием.

Литература

• Теорема Коши о среднем значении в Encyclopedia of Mathematics