Теорема Штольца

Теорема Штольца — утверждение математического анализа, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел. Теорема названа в честь опубликовавшего в 1885 году её доказательство австрийского математика Отто Штольца. По своей природе теорема Штольца является дискретным аналогом правила Лопиталя.

Формулировка

Пусть $a_n$ и $b_n$ — две последовательности вещественных чисел, причём $b_n$ положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$,

то существует и предел

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{a_n}{b_n}$,

причём эти пределы равны.

Доказательство

Ниже приводится доказательство по ФихтенгольцуШаблон:Sfn, другое доказательство приведено в книге Архипова, Садовничего и ЧубариковаШаблон:Sfn.

Допустим сначала, что предел равен конечному числу $L$, тогда для любого заданного $\epsilon >0$ существует такой номер $N>0$, что при $n>N$ будет иметь место:

$L-\frac{\epsilon }{2}<\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}<L+\frac{\epsilon }{2}$.

Значит, для любого $n>N$ все дроби:

$\frac{a_{N+1}-a_N}{b_{N+1}-b_N},\frac{a_{N+2}-a_{N+1}}{b_{N+2}-b_{N+1}},...,\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$

лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности $b_n$), то, по свойству медианты, между теми же границами содержится и дробь:

$\frac{a_n-a_N}{b_n-b_N}$,

числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумма всех знаменателей. Итак, при $n>N$:

$|\frac{a_n-a_N}{b_n-b_N}-L|<\frac{\epsilon }{2}$.

Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно):

$\frac{a_n}{b_n}-L=\frac{a_N-L{b}_N}{b_n}+(1-\frac{b_N}{b_n})(\frac{a_n-a_N}{b_n-b_N}-L)$,

откуда имеем

$|\frac{a_n}{b_n}-L|\le \left|\frac{a_N-L{b}_N}{b_n}\right|+|\frac{a_n-a_N}{b_n-b_N}-L|$.

Второе слагаемое при $n>N$ становится меньше $\frac{\epsilon }{2}$, первое слагаемое также станет меньше $\frac{\epsilon }{2}$, при $n>M$, где $M$ — некоторый достаточно большой номер, в силу того, что $b_n\to +\mathrm{\infty }$. Если взять $M>N$, то при $n>M$ будем иметь

$|\frac{a_n}{b_n}-L|<\epsilon$,

что и доказывает наше утверждение.

Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=+\mathrm{\infty }$,

из этого следует, что при достаточно больших $n$:

$a_n-a_{n-1}>b_n-b_{n-1}$ и

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=+\mathrm{\infty }$,

причём последовательность $a_n$ строго возрастает (начиная с определённого номера). В этом случае, доказанную часть теоремы можно применить к обратному отношению $\frac{b_n}{a_n}$:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{b_n}{a_n}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}=0$,

откуда и следует, что:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{a_n}{b_n}=+\mathrm{\infty }$.

Если предел равен $-\mathrm{\infty }$, то нужно рассмотреть последовательность $\{-a_n\}$.

Следствие

Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность $a_n$ сходится к числу $a$, то последовательность средних арифметических $\frac{a_1+\dots +a_n}{n}$ сходится к этому же числу.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга