Задача Неймана

Зада́ча Не́ймана, вторая краевая задача — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два типа: внутренние и внешние. Названа в честь Карла Неймана.

Постановка задачи

Внутренняя задача Неймана ставится следующим образом: в области $\mathrm{\Omega }$ найти функцию $u\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^1(\bar{\mathrm{\Omega }})$, удовлетворяющую следующим условиям:

$\mathrm{\Delta }u=0$ в области $\mathrm{\Omega }$

$\frac{\partial u}{\partial 𝐧}{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}=u_1(𝐱),u_1\in C(\partial \mathrm{\Omega }),$

где $\mathrm{\Delta }$ — оператор Лапласа, $𝐧$ — внешняя единичная нормаль к границе области $\mathrm{\Omega }$.

На неограниченных областях $\mathrm{\Omega }$ (внешняя задача Неймана) в постановке задачи добавляется дополнительное условие ограниченности на бесконечности искомой функции $u$. Решение внешней задачи Неймана в пространстве размерности $n>2$ единственно, если на бесконечности функция $u\to 0$. В двумерном случае решение может быть найдено с точностью до константы, если выполняется условие (*).

В общем случае второй краевой задачей называют задачу решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных с заданным поведением производной на границе.

Условие разрешимости

Из теории потенциала известно, что необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана является выполнение равенства

$\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }{u}_1(𝐱)dS=0,(*)$

при этом решение внутренней задачи Неймана может быть найдено лишь с точностью до константы.

Физическая интерпретация

Для уравнений различных процессов вторые краевые задачи, в отличие от первых, задаются и интерпретируются по-разному, например:

• Для уравнения теплопроводности задаются в виде $-\lambda \frac{\partial u}{\partial 𝐧}{|}_{\partial {\mathrm{\Omega }}_2}=u_1(𝐱)$, что интерпретируется как тепловой поток на границе области.
• Для уравнений, получаемых из уравнений Максвелла, например для уравнения относительно вектора $𝐄$ интерпретируется как магнитное поле на границе. Такие условия называются магнитными краевыми условиями. Для вектора $𝐇$ интерпретируется как электрическое поле на границе и называются электрическими краевыми условиями. В случае скалярного уравнения задаются как: $-{\mu }^{-1}\frac{\partial E}{\partial 𝐧}{|}_{\partial {\mathrm{\Omega }}_2}=u_1(𝐱)$, в векторном случае: $({\mu }^{-1}\mathrm{\nabla }\times 𝐄)\times 𝐧{|}_{\partial {\mathrm{\Omega }}_2}={𝐮}_{\mathrm{𝟏}}(𝐱)$.

Аналитическое решение

Аналитическое решение для задачи Неймана можно выразить с помощью функции Грина:

$u(𝐲)=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }{u}_1(𝐱)G(𝐱,𝐲)dx$,

где $G(𝐱,𝐲)$ — функция Грина для оператора Лапласа в области $\mathrm{\Omega }$.

Вторые краевые условия в численных методах

При решении задачи различными численными методами вторые краевые условия учитываются по-разному:

• В методе конечных разностей производная $\frac{\partial u}{\partial 𝐧}$ аппроксимируется специальной разностной схемой, на той же сетке и полученное уравнение добавляется к общей системе
• В методе конечных элементов вторые краевые учитываются в вариационной постановке и являются добавками в правую часть уравнения: ${𝐛}_i=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(𝐱){\phi }_i(𝐱)dx+\underset{\partial {\mathrm{\Omega }}_2}{\int }{u}_1(𝐱){\phi }_i(𝐱)dx$, где $f(𝐱)$ — правая часть уравнения, $\partial {\mathrm{\Omega }}_2$ — часть границы, на которых заданы вторые краевые, ${\phi }_i(𝐱)$ $i$-я базисная функция.

См. также

• Нейман, Карл Готфрид
• Начальные и граничные условия
• Задача Дирихле
• Эллиптическое уравнение
• Краевая задача
• Теория потенциала

Литература

• Шаблон:Книга