Эллиптическое уравнение

Гармоническая функция на кольце — решение уравнения Лапласа

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.

Определение

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции $u:R^n\to R$:

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum _{k=1}^n{b}_k\frac{\partial u}{\partial x_k}+cu=f(x_1,\dots ,x_n)$

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть $a_{ij}=a_{ji}$. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

$\left(\mathrm{\nabla }A{\mathrm{\nabla }}^T\right)u+𝐛\cdot \mathrm{\nabla }u+cu=f(x_1,\dots ,x_n)$,

где $A=A^T$.
Матрица $A$ называется матрицей главных коэффициентов.
Если все собственные значения матрицы $A$ имеют одинаковый знак, то уравнение относят к эллиптическому типу.
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде:

$Lu=f(x_1,\dots ,x_n)$,

где $L$ — эллиптический оператор.

Эллиптические уравнения противопоставляются параболическим и гиперболическим, хотя данная классификация не является исчерпывающей.

Решение эллиптических уравнений

Для аналитического решения эллиптических уравнений при заданных граничных условиях применяют метод разделения переменных Фурье, метод функции Грина и метод потенциалов.

Примеры эллиптических уравнений

В математической физике эллиптические уравнения возникают в задачах, сводящихся лишь к пространственным координатам: от времени либо ничего не зависит (стационарные процессы), либо оно каким-то образом исключается.

• Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона описывают различные стационарные физические поля.
• Стационарный аналог уравнения Шрёдингера, когда предполагается гармоническая зависимость от времени.
• Уравнения, получаемые из уравнений Максвелла. В этом случае эллиптические уравнения получаются из предположения, что электромагнитное поле либо не меняется с течением времени, либо меняется по гармоническому закону. Одним из уравнений, получаемых в таких предположениях, является уравнение Гельмгольца.
• Уравнение Стокса — стационарный аналог системы уравнений Навье-Стокса для устоявшегося течения,

а также многие другие стационарные аналоги гиперболических и параболических уравнений.

См. также

• Задача Дирихле
• Условия Коши — Римана
• Параболическое уравнение
• Гиперболическое уравнение