Параболическое уравнение

Визуализация решения параболического уравнения (уравнения теплопроводности)

Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.

Определение

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции $u:R^n\to R$:

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum _{k=1}^n{b}_k\frac{\partial u}{\partial x_k}+cu=f(x_1,\dots ,x_n)$

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть $a_{ij}=a_{ji}$. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

$\left(\mathrm{\nabla }A{\mathrm{\nabla }}^T\right)u+𝐛\cdot \mathrm{\nabla }u+cu=f(x_1,\dots ,x_n)$,

где $A=A^T$.
Матрица $A$ называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна $(n-1,0)$, то есть матрица $A$ имеет одно собственное значение, равное нулю, и $n-1$ собственных значений имеют одинаковый знак, то уравнение относят к параболическому типу.
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется параболическим, если оно представимо в виде:

$Lu+a\frac{\partial u}{\partial t}=f(x_1,\dots ,x_{n-1},t)$,

где $L$ — эллиптический оператор, $a\ne 0$.

Решение параболических уравнений

Для нахождения единственного решения уравнение рассматривается в совокупности с начальными и краевыми условиями. Поскольку по времени уравнение имеет первый порядок, то начальное условие накладывается одно: на искомую функцию.

• Для нахождения решений параболических уравнений, в том числе и абстрактных параболических уравнений, могут применяться методы теории полугрупп операторов.
• Для аналитического решения параболических уравнений в бесконечной области (задача Коши для параболического уравнения) используют специальную интегральную формулу.
• Для аналитического решения параболических уравнений в конечной области может применяться метод разделения переменных Фурье.
• Для численного решения параболических уравнений используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объёмов, а также их комбинации и другие численные методы, подходящие для решаемой задачи.

Принцип максимума

Для параболического уравнения вида:

$-a^2\mathrm{\Delta }u+{\partial }_{t}u=0(x_1,\dots x_{n-1})\in \mathrm{\Omega }$

Решение $u(x_1,\dots ,x_{n-1},t)$ принимает своё максимальное значение либо при $t=0$, либо на границе области $\mathrm{\Omega }$.

Примеры параболических уравнений

• Уравнения описывающие процессы конвекции и диффузии, в том числе уравнение диффузии и его частный случай — уравнение теплопроводности.
• Система уравнений Навье-Стокса, описывающее движение жидкости и газов является системой параболических уравнений с дивергентными ограничениями.
• Для некоторых типов сред из уравнений Максвелла можно получить параболические уравнения относительно векторов $𝐀$ или $𝐄$.

См. также

• Эллиптические уравнения
• Гиперболическое уравнение
• Автоволны