Полугруппа операторов

Полугруппа операторов — однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве. Теория полугрупп операторов возникла в середине XX века в работах таких известных математиков, как Шаблон:Нп2, Шаблон:Нп2, Иосиды, Феллера. Основные применения этой теории: абстрактные задачи Коши, параболические уравнения, случайные процессы.

Определение

Пусть $X$ — банахово пространство. Полугруппой операторов $\{T_t{\}}_{t⩾0}$ в пространстве $X$ называется семейство ограниченных операторов $T_t:X\to X$, $t⩾0$, удовлетворяющее следующим свойствам:

1. $T_t{T}_s=T_{t+s}$, где умножение операторов есть композиция этих отображений.
2. $T_0=I$, где $I$ есть единичный оператор в пространстве $X$.

Из определения полугруппы следует, что для любой полугруппы существуют такие константы $M>0,\alpha \in R$, что:

$\Vert T_t\Vert ⩽M{e}^{\alpha t}.$

Генератор полугруппы

Центральным понятием в теории полугрупп операторов является понятие генератора полугруппы. Генератором полугруппы или инфинитезимальным производящим оператором полугруппы $T_t$ называется оператор

$A:X\supset D(A)\to X$

$A\phi =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{T_t\phi -\phi }{t},\phi \in D(A),$

где область определения $D(A)$ определяется как множество таких элементов, что данный предел существует. Генератор полугруппы есть линейный, вообще говоря, неограниченный оператор. Если полугруппа сильнонепрерывна, то область определения генератора является плотной в $X$, а сам генератор есть замкнутый оператор. С другой стороны не каждый замкнутый, плотно определенный оператор является генератором полугруппы. Генератор однозначно определяется по полугруппе; генератор однозначно определяет полугруппу, если она сильнонепрерывна.

Виды полугрупп

В зависимости от гладкости по параметру рассматриваются различные виды полугрупп.

Полугруппа $T_t$ называется равномернонепрерывной, если выполнено следующее условие:

$\underset{t\to s}{\lim }\Vert T_t-T_s\Vert =0$,

где предел понимается в смысле операторной топологии.

Полугруппа $T_t$ называется $C_0$-полугруппой или сильно непрерывной полугруппой, если выполнено условие:

$\underset{t\to s}{\lim }\Vert T_t\phi -T_s\phi {\Vert }_X=0$,

для любого фиксированного элемента $\phi \in X$.

Большую роль в приложениях играют сжимающие полугруппы. Сильно непрерывная полугруппа называется сжимающей если выполнено следующее условие:

$\Vert T_t\Vert ⩽1$.

Сильно непрерывная полугруппа $T_t$ называется аналитической полугруппой, если она может быть аналитически продолжена в некоторый сектор

${\Delta }_{\delta }=\{\lambda \in C:|arg\lambda |<\delta ,Re\lambda >0\},0<\delta ⩽\pi /2$,

таким образом, что $T_{\lambda }$ непрерывна в $\underset{\delta }{\bar{\Delta }}$.

Критерии для генераторов полугрупп

Линейный оператор $A$ в пространстве $X$ порождает равномерно непрерывную полугруппу тогда и только тогда, когда $A$ является ограниченным оператором. Отсюда следует, что в конечномерных пространствах все полугруппы являются равномерно непрерывными.

Критерием для генератора сильно непрерывной полугруппы является следующая теорема: линейный оператор $A$ является генератором сильно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. Оператор $A$ замкнутый.
2. Область определения $D(A)$ плотно в $X$.
3. Существует такое ${\lambda }_0$, что все числа $\lambda ⩾{\lambda }_0$ являются резольвентными для оператора $A$.
4. Существует такая константа $c_1>0$, что для всех $\lambda >{\lambda }_0$ выполнено неравенство

$\Vert (\lambda I-A{)}^{-k}\Vert ⩽\frac{c_1}{(\lambda -{\lambda }_0{)}^k},k=1,2,\dots$

Если вместо условия 4) выполнено условие

$\Vert \lambda I-A\Vert ⩽\frac{1}{\lambda -{\lambda }_0},$

то оператор $A$ также будет генератором сильно непрерывной полугруппой. Случай ${\lambda }_0=0$ известен как теорема Хилле — Иосиды: линейный оператор $A$ является генератором сжимающей полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. Оператор $A$ замкнутый.
2. Область определения $D(A)$ плотно в $X$.
3. Все числа $\lambda ⩾0$ являются резольвентными для оператора $A$.
4. Для всех $\lambda >0$ выполнено неравенство:

   $\Vert \lambda I-A\Vert ⩽\frac{1}{\lambda },$

Для того, чтобы генератор сильно непрерывной полугруппы $A$ был генератором аналитической полугруппы необходимо потребовать значительно больших условий на спектр оператора $A$.

Оператор $A$ является генератором аналитической полугруппы тогда и только тогда, когда существуют числа $\pi /2<\omega ⩽\pi$ и $q⩾0$, что множество ${\Omega }_{q,\omega }=\{\lambda \in C:Re\lambda >\omega ,|\lambda |>q\}$ свободно от спектра оператора $A$ и выполнено неравенство

$\Vert (\lambda I-A{)}^{-1}\Vert ⩽\frac{c_2}{|\lambda |},\lambda \in {\Omega }_{q,\omega },$

где константа $c_2>0$ не зависит от $\lambda$.

Ещё один эквивалентный критерий для генератора аналитической полугруппы — генератор сильно непрерывной полугруппы является генератором аналитической полугруппы, если

$\Vert tA{T}_t\phi {\Vert }_X⩽C,\phi \in X,t>0,$

где $C>0$ — константа, независящая от $t$.

Литература

• Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New York-Berlin-Heidelberg, Springer, 1983.
• Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967.
• Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962.
• Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.
• Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer-Verlag, N.Y., 2000.
• Р. В. Шамин. Полугруппы операторов. М.: РУДН, 2008. — 205 с.