Схема с разностями против потока

Схема с разностями против потока в вычислительной физике — класс методов дискретизации для решения (явными схемами) дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (гиперболических уравнений).

Например, одномерное уравнение волны имеет вид

$\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}=0$

Оно описывает распространение волны в направлении $x$ со скоростью $a$. Такое уравнение также является математической моделью одномерной линейной адвекции. Рассматривая обыкновенную точку сетки $i$, в одномерном случае есть только два допустимых направления, левое и правое. Если $a$ положительна, то левая сторона называется направлением против потока, а правая сторона называется направлением по потоку. (Если $a$ отрицательна, то наоборот). Если при использовании конечных разностей для пространственной производной $\partial u/\partial x$ содержит больше точек на стороне против потока, то схема называется схемой с разностями против потока.

Первого порядка

Простейший пример, пример первого порядка:

$(1)\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}+a\frac{u_i^n-u_{i-1}^n}{\mathrm{\Delta }x}=0\text{for}a>0$

$(2)\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}+a\frac{u_{i+1}^n-u_i^n}{\mathrm{\Delta }x}=0\text{for}a<0$

Компактная форма

Определяя

$a^{+}=\text{max}(a,0),a^{-}=\text{min}(a,0)$

$u_x^{-}=\frac{u_i^n-u_{i-1}^n}{\mathrm{\Delta }x},u_x^{+}=\frac{u_{i+1}^n-u_i^n}{\mathrm{\Delta }x}$,

два условных уравнения (1) и (2) можно записать в одном:

$(3)u_i^{n+1}=u_i^n-\mathrm{\Delta }t[a^{+}{u}_x^{-}+a^{-}{u}_x^{+}]$

Такое уравнение представляет схемы с разностями против потока в общем виде. Стабильность схемы с разностями против потока определяется критерием Куранта — Фридрихса — Леви.