Гипоэллиптический оператор

Гипоэллиптический оператор — дифференциальный оператор в частных производных, фундаментальное решение которого принадлежит классу $C^{\mathrm{\infty }}$ во всех точках пространства, за исключением начала координат.

Определение

Пусть $P(\xi )$ — вещественный полином от переменных $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n):$

$P(\xi )=\sum _{|\alpha |\le m}{a}_{\alpha }{\xi }^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\le m}{a}_{\alpha }{\xi }_1^{{\alpha }_1}\cdots {\xi }_n^{{\alpha }_n},$

где $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{Z}}_{+}^n$ и $|\alpha |={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n$.

Определим соответствующий дифференциальный оператор:

$P(D)=\sum _{|\alpha |\le m}{a}_{\alpha }{D}^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\le m}{a}_{\alpha }\frac{{\partial }^{|\alpha |}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}},$

где

$D=(D_1,\dots ,D_n),D_j=\frac{\partial }{\partial x_j},j=1,\dots ,n.$

Обобщенная функция $ℰ(x)$ называется фундаментальным решением дифференциального оператора $P(D)$, если она является решением уравнения $P(D)ℰ(x)=\delta (x),$ где $\delta (x)$ — дельта-функция Дирака. Оператор $P(D)$ называется гипоэллиптическим, если $ℰ(x)$ принадлежит классу $C^{\mathrm{\infty }}$ при всех $x\ne 0$.

Свойства

Следующий критерий гипоэллиптичности часто используется в качестве определения гипоэллиптического оператора: Шаблон:Рамка Теорема 1. Оператор $P(D)$ является гипоэллиптическим, тогда и только тогда, когда для любой открытой области $U\subset {ℝ}^n$ всякое решение $u(x)$ (обобщенная функция) уравнения

$P(D)u(x)=f(x),x\in U,$

с любой правой частью $f\in C^{\mathrm{\infty }}(U)$ также принадлежит классу $u\in C^{\mathrm{\infty }}(U).$ Шаблон:Конец рамки

Также имеет место следующий алгебраический критерий гипоэллиптичности, установленный Хёрмандером: Шаблон:Рамка Теорема 2. Оператор $P(D)$ является гипоэллиптическим, тогда и только тогда, когда

$\frac{P^{(k)}(-i\xi )}{P(-i\xi )}\to 0,|\xi |\to \mathrm{\infty },$

для всех $k=(k_1,\dots ,k_n)\in {\mathbb{Z}}_{+}^n,|k|\ge 1,$ где $i$ — мнимая единица. Шаблон:Конец рамки

Примеры

• Любой эллиптический оператор является гипоэллиптическим, например, оператор Лапласа.
• Оператор теплопроводности является гипоэллиптическим, но не эллиптическим.
• Оператор Д’Аламбера не является гипоэллиптическим.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга