Класс Тодда

Класс Тодда — это некоторая конструкция, которая ныне считается частью теории характеристических классов в алгебраической топологии. Класс Тодда векторного расслоения можно определить посредством теории классов Чженя и они встречаются там, где классы Чженя существуют — в первую очередь в дифференциальной топологии, теории комплексных многообразий и алгебраической геометрии. Грубо говоря, класс Тодда действует противоположно классу Чженя и относится к нему как конормальное расслоение относится к нормальному расслоению.

Классы Тодда играют фундаментальную роль в обобщении классической теоремы Римана — Роха на пространства более высоких размерностей до Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5.

История

Класс назван по имени Шаблон:Не переведено 5, который ввёл специальный случай понятия в алгебраической геометрии в 1937 до того, как были определены классы Чженя. Использованная геометрическая идея иногда называется классом Тодда — Эгера.

Общее определение в более высоких размерностях принадлежит Хирцебруху.

Определение

Чтобы определить класс Тодда td(E), где E — это комплексное векторное расслоение на топологическом пространстве X, обычно достаточно ограничиться определением на случай суммы Уитни Шаблон:Не переведено 5 при помощи общих понятий теории характеристических классов, использования корней Чженя (он же Шаблон:Не переведено 5). Пусть

$Q(x)=\frac{x}{1-e^{-x}}=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i{B}_i}{i!}{x}^i=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+\cdots$

является формальным степенным рядом со свойством, что коэффициенты при xⁿ в Q(x)ⁿ⁺¹ равны 1 (здесь B_i — числа Бернулли). Рассмотрим коэффициент при x^j в произведении

$\prod _{i=1}^{m}Q({\beta }_{i}x)$

для любого m > j. Этот коэффициент симметричен по β_i и однороден по весам j, так что его можно выразить как многочлен $t{d}_j(p_1,\dots ,p_j)$ от Шаблон:Не переведено 5 p от β. Тогда $t{d}_j$ определяют многочлены Тодда и они образуют Шаблон:Не переведено 5 с Q в качестве характеристического степенного ряда.

Если E имеет α_i в качестве корней Чженя, то класс Тодда

$td(E)=\prod Q({\alpha }_i)$

который следует вычислять в Шаблон:Не переведено 5 топологического пространства X (или в его дополнении, если рассматриваются бесконечномерные многообразия).

Класс Тодда можно задать явно как формальный степенной ряд в классах Чженя следующим образом:

$td(E)=1+c_1/2+(c_1^2+c_2)/12+c_1{c}_2/24+(-c_1^4+4c_1^2{c}_2+c_1{c}_3+3c_2^2-c_4)/720+\dots$

где классы когомологий c_i являются классами Чженя на E и лежат в группе когомологий ${\mathrm{H}}^{2i}(X)$. Если X имеет конечную размерность, то большинство членов равны нулю и td(E) является многочленом в классах Чженя.

Свойства класса Тодда

Класс Тодда мультипликативен:

$T{d}^{*}(E\oplus F)=T{d}^{*}(E)\cdot T{d}^{*}(F).$

Пусть $\xi \in H^2(ℂP^n)$ является фундаментальным классом гиперплоского сечения. Из мультиплиативности и Шаблон:Не переведено 5 для касательного расслоения $ℂP^n$

$0\to 𝒪\to 𝒪(1{)}^{n+1}\to TℂP^n\to 0,$

получаем

$T{d}^{*}(TℂP^n)={\left(\frac{\xi }{1-e^{-\xi }}\right)}^{n+1}.$

Формула Хирцебруха — Римана — Роха

Шаблон:Основная статья Для любого когерентного пучка F на гладком проективном комплексном многообразии M, имеем

$\chi (F)=\underset{M}{\int }C{h}^{*}(F)\wedge T{d}^{*}(TM),$

где $\chi (F)$ — его Шаблон:Не переведено 5,

$\chi (F):=\sum _{i=0}^{{\text{dim}}_{ℂ}M}(-1{)}^i{\text{dim}}_{ℂ}{H}^i(F),$

и Ch^*(F) — его характер Чженя.

См. также

Род мультипликативной последовательности

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга