Символ оператора

Символ оператора — функция, ассоциированная с оператором и отражающая те или иные его свойства. Как правило символы задаются для операторов, принадлежащих некоторой алгебре. В таком случае отображение из элементов алгебры в их символы является линейным, то есть при сложении операторов и их умножении на число соответствующие символы также складываются и умножаются на то же число. При умножении операторов их символы обычно умножаются с точностью до членов, считающихся в определённом смысле младшими. Символ оператора часто является числовой функцией числовых переменных, но бывает и что он принимает значения в некоторой алгебре, более простой чем исходная.

Функции операторов, упорядоченных фейнмановскими номерами

Понятие символа оператора тесно связано с задачей введения функций от операторов, в некотором смысле аналогичных заданным функциям вещественных или комплексных переменных. В случае полиномов такая аналогия очевидна, нужно просто подставить в них операторы вместо переменных. Однако, операторы в общем случае не коммутируют и необходимо задать порядок их действия, что можно сделать с помощью фейнмановских номеров, например:

$(\stackrel{1}{A}+\stackrel{2}{B}{)}^2,$

означает, что оператор $A$ действует первый, а оператор $B$ вторым, то есть

$(\stackrel{1}{A}+\stackrel{2}{B}{)}^2=\stackrel{1}{A^2}+2\stackrel{1}{A}\stackrel{2}{B}+\stackrel{2}{B^2}=A^2+2BA+B^2.$

Пространство полиномиальных символов

Пусть задана операторная алгебра $𝔸$

$A_1,\dots ,A_n\in 𝔸,n\in \mathbb{N}.$

$ℂ[x_1,\dots ,x_n]$ — множество многочленов от $n$ переменных. Пусть определено отображение

${\mu }_{\stackrel{1}{A_1},\dots ,\stackrel{n}{A_n}}^p:ℂ[x_1,\dots ,x_n]\to 𝔸,$

которое сопоставляет многочлену $f\in ℂ[x_1,\dots ,x_n]$:

$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{|\alpha |⩽m}{C}_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_n}{x}_1^{{\alpha }_1}\dots x_n^{{\alpha }_n}$

оператор

$f(\stackrel{1}{A_1},\dots ,\stackrel{n}{A_n})\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\mu }_{\stackrel{1}{A_1},\dots ,\stackrel{n}{A_n}}^p(f)=\sum _{|\alpha |⩽m}{C}_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_n}{A}_n^{{\alpha }_n}\dots A_1^{{\alpha }_1}.$

Функция $f$ называется символом оператора ${\mu }_{\stackrel{1}{A_1},\dots ,\stackrel{n}{A_n}}^p(f).$

Общее определение

Пусть ${ℱ}_n$ — некоторый класс функций от переменных $x_1,\dots ,x_n$, содержащий полиномы $ℂ[x_1,\dots ,x_n]\subseteq {ℱ}_n$. Пусть задано отображение

${\mu }_{\stackrel{1}{A_1},\dots ,\stackrel{n}{A_n}}:{ℱ}_n\to 𝔸$

Со следующими свойствами:

1. Отображение ${\mu }_{\stackrel{1}{A_1},\dots ,\stackrel{n}{A_n}}$ линейно.
2. ${\mu }_A$ гомоморфизм алгебр с единицей, причём если $f(x)=x$, то ${\mu }_A(f)=A$.
3. Если $f(x_1,\dots ,x_n)=f_1(x_1)\dots f_n(x_n)$, то ${\mu }_{\stackrel{1}{A_1},\dots ,\stackrel{n}{A_n}}(f)={\mu }_{A_n}(f_n)\dots {\mu }_{A_1}(f_1).$
4. $\mathrm{\forall }f\in ℂ[x_1,\dots ,x_n]{\mu }_{\stackrel{1}{A_1},\dots ,\stackrel{n}{A_n}}(f)={\mu }_{\stackrel{1}{A_1},\dots ,\stackrel{n}{A_n}}^p(f).$

Функция $f$ называется символом оператора $f(\stackrel{1}{A_1},\dots ,\stackrel{n}{A_n})\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\mu }_{\stackrel{1}{A_1},\dots ,\stackrel{n}{A_n}}(f).$

Литература

• Маслов В. П., Операторные методы, М., 1973
• Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Методы некоммутативного анализа, М.: Техносфера, 2002
• Шаблон:Из