Формула Гаусса — Бонне

Шаблон:Другие значения Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Формулировка

Пусть $\mathrm{\Omega }$ — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей $\partial \mathrm{\Omega }$. Обозначим через $K$ гауссову кривизну $\mathrm{\Omega }$ и через $k_g$ геодезическую кривизну $\partial \mathrm{\Omega }$. Тогда

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }Kd\sigma +\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }{k}_{g}ds=2\pi \chi (\mathrm{\Omega }),$

где $\chi (\mathrm{\Omega })$ — эйлерова характеристика $\mathrm{\Omega }$.

В частности, если у $\mathrm{\Omega }$ нет границы, получаем

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }Kd\sigma =2\pi \chi (\mathrm{\Omega }).$

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

История

Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Фридрихом Гауссом, Пьер Оссиан Бонне и Жак Бине независимо обобщили формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой; Бине не опубликовал статьи на эту тему, но Бонне упоминаеет об этом на странице 129 своей Шаблон:Lang-fr2. Для неодносвязных областей формула появляется в работе Вальтера фон Дика. Современная формулировка дана Вильгельмом Бляшке.

Вариации и обобщения

• Формула Гаусса — Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома $P_i$ касательный вектор $𝝉$ разворачивается на угол ${\varphi }_i$ в сторону области $\mathrm{\Omega }$ (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой:

  $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }Kd\sigma +\underset{L}{\int }{k}_{g}ds+\sum _i{\varphi }_i=2\pi \chi (\mathrm{\Omega }).$

• Обобщённая формула Гаусса — Бонне — обобщение формулы на старшие размерности.
• Неравенство Кон-Фоссена — обобщение на некомпактные поверхности.
• Теорема сравнения Топоногова уточняет следующее следствие формулы Гаусса — Бонне: любой треугольник на полной поверхности неотрицательной гауссовой кривизны имеет сумму углов хотя бы $\pi$.

См. также

• Формула Гаусса
• Теорема Бертрана — Диге — Пюизё

Ссылки

• С. Е. Степанов, Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, № 9, с. 116—121.

• Wu, Hung-Hsi. "Historical development of the Gauss-Bonnet theorem". Science in China Series A: Mathematics 51.4 (2008): 777—784.