Обобщённая формула Гаусса — Бонне

Обобщенная формула Гаусса — Бонне — интегральная формула, выражающая эйлерову характеристику замкнутого чётномерного риманова многообразия через его кривизну. Это прямое обобщение формулы Гаусса — Бонне на высшие размерности.

История

Обобщённая формула Гаусса — Бонне была доказана независимо и почти одновременно Вейлем и Аллендорфером для замкнутых римановых многообразий, допускающих изометричные вложения в евклидово пространство. (Идея доказательства состояла в подсчёте степени Гауссова отображения гиперповерхности образованной границей малой трубчатой окрестности данного подмногообразия.) На этот момент не было известно все ли многообразия допускают такие вложения — теорема Нэша о регулярных вложениях была доказана только в 1956 году.

В 1945 году, Черн обобщил формулу на случай всех римановых многообразий.

Формулировка

Пусть $M$ — компактное ориентируемое 2n-мерное риманово многообразие без края, и $\mathrm{\Omega }$ — его форма кривизны. Заметим, что форма $\mathrm{\Omega }$ может рассматриваться как кососимметричная матрица, чьи компоненты являются 2-формами на $M$. В частности, $\mathrm{\Omega }$ — это матрица над коммутативным кольцом

$\bigwedge {\mathrm{\backslash nolimits}}^{\text{чёт}}{T}^{*}M.$

Поэтому можно посчитать её пфаффиан $\mathrm{Pf}(\mathrm{\Omega })$, который является 2n-формой.

Обобщенная формула Гаусса — Бонне может быть записана как

$\underset{M}{\int }\mathrm{Pf}(\mathrm{\Omega })=(2\pi {)}^n\chi (M)$,

где $\chi (M)$ обозначает эйлерову характеристику $M$.

Примеры

• В размерности 2 формула превращается в обычную формулу Гаусса — Бонне
• В размерности четыре формулу можно переписать следующим удобным способом:

  $\chi (M)=\frac{1}{32{\pi }^2}\underset{M}{\int }(|\mathrm{R}\mathrm{m}{|}^2-4|\mathrm{R}\mathrm{c}{|}^2+{\mathrm{R}}^2)d\mu$,

где $\mathrm{R}\mathrm{m}$ — это полный тензор кривизны, $\mathrm{R}\mathrm{c}$ — тензор Риччи, и $\mathrm{R}$ — скалярная кривизна.

См. также

• Число Понтрягина
• Класс Понтрягина