Теорема Нэша о регулярных вложениях

Шаблон:Значения Шаблон:Эта статья Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое $m$-мерное риманово многообразие $(V^m,g)$ класса $C^r$, $3⩽r⩽\mathrm{\infty }$, допускает изометрическое $C^r$ вложение в ${ℝ}^n$ для достаточно большого $n$.

Установлена американским математиком Джоном Нэшем, Нэш также дал явную оценку $n⩾m(m+1)(3m+11)/2$, которая позднее несколько раз улучшалась, в частности теорема справедлива для $n⩾m^2+10m+3$.

В доказательстве был введён новый метод решения дифференциальных уравнений, так называемая теорема Нэша — Мозера изначально доказанная Нэшем. Существенное упрощение этой части доказательства было дано Матиасом Гюнтером. Его метод был слегка упрощён в нескольких заметках Дэна Янга Теренсa Тао и Ральфа Хоурда.

Вариации и обобщения

• Теорема Нэша — Кейпера — аналогичный результат для $C^1$-гладких вложений.
• Аналогичная теорема для псевдоримановых многообразий следует из теоремы Нэша, но её можно доказать без использования теоремы Нэша — Мозера. Возможно построить изометрическое вложение в псевдоевклидово пространство только с помощью скручиваний Нэша.
• Любое гладкое компактное финслерово многообразие со строго выпуклыми нормами допускает изометрическое вложение в конечномерное Банахово пространство..
• Справедлив аналогичный результат для аналитических вложений, установлен также Нэшем, но существенно позднее.
• Теорема Позняка утверждает, что любой диск на плоскости с римановой метрикой $({ℝ}^2,g)$ допускает изометрическое погружение в 4-мерное евклидово пространство.
  • Вопрос о существовании локального гладкого изометрического вложения в 3-мерное евклидово пространство остаётся открытым.

Литература

• Шаблон:Статья