Теорема Нэша — Мозера

Теорема Нэша — Мозера — одно из обобщений теоремы об обратной функции. Вариант этой теоремы был использован Джоном Форбсом Нэшем при доказательстве теоремы о регулярном вложении. Из его статьи ясно, что его метод может быть обобщен. Юрген Мозер показал, что метод Нэша применим для решения задач о периодических орбитах в небесной механике в теории Колмогорова — Арнольда — Мозера. На сегодняшний день существует несколько версий формулировки, принадлежащие Громову, Гамильтону, Хермандеру, Мозеру, Сен-Раймонду, Шварцу и Сергерарту.

Одно из доказательств теоремы основано на использовании модифицированного варианта процесса Ньютона нахождения решения уравнения. Другие подходы, в частности подходы Нэша и Гамильтона, следуют решению обыкновенного дифференциального уравнения в функциональном пространстве.

Идея доказательства

Этот раздел предназначен только для описания идеи и поэтому намеренно неточен.

Предположим, что $P$ — дифференциальный оператор первого порядка определённый на гладких функциях между векторными пространствами, так что он определяет отображение $P : C^{k + 1} \to C^{k}$ для каждого $k$ . Предположим, что при некоторой функции $f_{0} \in C^{k + 1}$ линеаризация $D_{f} P : C^{k + 1} \to C^{k}$ имеет правый обратный оператор $S_{f} : C^{k} \to C^{k}$ для любой функции $f$ , достаточно близкой к $f_{0}$ .

Заметим, что композиция $S_{f} \circ D_{f} P$ и теряет одну производную то есть отображает $C^{k + 1}$ в $C^{k}$ . Из этого можно увидеть, что попытки использовать метод Ньютона для нахождения решения $P (f) = g_{\infty}$ терпят провал. То есть если $(f_{n})$ — последовательность функций определяемая итеративно

f_{n + 1} = f_{n} + S_{f_{n}} (g_{\infty} - P (f_{n})),

то из $f_{0} = f \in C^{k + 1}$ следует, что $g_{\infty} - P (f_{0}) \in C^{k}$ , и тогда $f_{1} \in C^{k}$ . По тем же соображениям, $f_{2} \in C^{k - 1}$ , $f_{3} \in C^{k - 2}$ , и так далее. Через конечное число шагов итерация должна закончиться, так как она потеряет всякую регулярность, и следующий шаг даже не будет определен.

Для решения этой задачи, Нэш использует сглаживающий оператор $θ_{n}$ который для данной функции $f$ , возвращает гладкую функцию $θ_{n} (f_{n})$ близкую к исходной, если $n$ велико. Затем определяется «сглаженная» итерация Ньютона

f_{n + 1} = f_{n} + S_{f_{n}} (θ_{n} (g_{\infty} - P (f_{n}))) .

Этот модифицированный процесс не сталкивается с той же трудностью, что и предыдущая «несглаженная» версия, поскольку это итерация в пространстве гладких функций, которая никогда не теряет регулярности.

При правильно выбранных сглаживающих операторах, эта последовательность действительно сходится к решению $f_{\infty}$ ; то есть $P (f_{\infty}) = g_{\infty}$ .