Число Понтрягина

Число Понтрягина ― характеристическое число, определенное для вещественных замкнутых многообразий и принимающее рациональные значения.

Определение

Пусть M есть 4n-мерное гладкое замкнутое многообразие и $\omega =\{k_1,k_2,\dots ,k_m\}$ ― разбиение числа $n$, то есть набор натуральных чисел, таких что $k_1+k_2+\cdots +k_m=n$.

Рациональное число

$P_{\omega }=p_{k_1}\cup p_{k_2}\cup \cdots \cup p_{k_m}([M])$

называется числом Понтрягина многообразия M по разбиению $\omega$, здесь $p_i$ обозначают классы Понтрягина.

Несмотря на то что числа Понтрягина формально определяются для гладких многообразий, по теореме Новикова, они являются топологическими инвариантами.

Свойства

• Теорема Понтрягина. Числа Понтрягина двух бордантных (в ориентированном смысле) многообразий равны. Более того
  • Если все числа Понтрягина и Штифеля — Уитни двух ориентированных замкнутых многообразий совпадают, то эти многообразия бордантны (в ориентированном смысле).
• Через числа Понтрягина выражаются сигнатура многообразия то есть сигнатура квадратичной формы пересечений, определенной на $H^{n/2}(M)$, $n=dimM$.
• Через числа Понтрягина выражаются спинорный индекс ($\hat{A}$-род) замкнутого спинорного многообразия $M$, то есть индекс оператора Дирака на $M$.