Пфаффиан

Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера $2n\times 2n$, и в этом случае его степень равна n.

Примеры

$\text{Pf}\left[\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right]=a.$

$\text{Pf}\left[\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ -a& 0& d& e\\ -b& -d& 0& f\\ -c& -e& -f& 0\end{array}\right]=af-be+dc.$

$\text{Pf}\left[\begin{array}{ccccccc}0& {\lambda }_1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ -{\lambda }_1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_2& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& -{\lambda }_2& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& {\lambda }_n\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -{\lambda }_n& 0\end{array}\right]={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n.$

Определение

Пусть $\mathrm{\Pi }$ обозначает множество всех разбиений множества $\{1,2,\dots ,2n\}$ на неупорядоченные пары (всего существует $(2n-1)!!$ таких разбиений). Разбиение $\alpha \in \mathrm{\Pi }$ может быть записано

$\alpha =\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots ,(i_n,j_n)\}$

где $i_k<j_k$ и $i_1<i_2<\cdots <i_n$. Пусть

$\pi =\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& \cdots & 2n\\ i_1& j_1& i_2& j_2& \cdots & j_n\end{array}\right]$

обозначает соответствующую перестановку, а $\text{sgn}(\alpha )$ — знак перестановки $\pi$. Нетрудно видеть, что $\text{sgn}(\alpha )$ не зависит от выбора $\pi$.

Пусть $A=\{a_{ij}\}$ обозначает $2n\times 2n$ кососимметричную матрицу. Для разбиения $\alpha$ определим

$A_{\alpha }=\mathrm{sgn}(\alpha )a_{i_1,j_1}{a}_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.$

Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как

$\mathrm{Pf}(A)=\sum _{\alpha \in \mathrm{\Pi }}{A}_{\alpha }.$

Пфаффиан кососимметричной матрицы размера $n\times n$ для нечётного n равен нулю по определению.

Рекурсивное определение

Пфаффиан матрицы размера $0\times 0$ полагается равным 1; пфаффиан кососимметричной матрицы A размера $2n\times 2n$ при $n>0$ может быть определён рекурсивно следующим образом:

$\mathrm{Pf}(A)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne i}}^{2n}(-1{)}^{i+j+1+\theta (i-j)}{a}_{ij}\mathrm{Pf}(A_{\hat{ı}\hat{ȷ}}),$

где индекс $i$ может быть выбран произвольно, $\theta (i-j)$ — функция Хевисайда, $A_{\hat{ı}\hat{ȷ}}$ обозначает матрицу A без i-той и j-той колонки и строки.

Альтернативное определение

Для $2n\times 2n$ кососимметричной матрицы $A=\{a_{ij}\}$ рассмотрим бивектор:

$\omega =\sum _{i<j}{a}_{ij}{e}_i\wedge e_j.$

где $\{e_1,e_2,\dots ,e_{2n}\}$ есть стандартный базис в ${ℝ}^{2n}$. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

$\frac{1}{n!}{\omega }^{\wedge n}=\text{Pf}(A)e_1\wedge e_2\wedge \dots \wedge e_{2n},$

где ${\omega }^{\wedge n}$ обозначает внешнее произведение n копий $\omega$.

Свойства

Для $2n\times 2n$ кососимметричной матрицы $A$ и для произвольной $2n\times 2n$ матрицы $B$:

• $\text{Pf}(A{)}^2=\det (A)$

• $\text{Pf}(BA{B}^T)=\det (B)\text{Pf}(A)$

• $\text{Pf}(\lambda A)={\lambda }^n\text{Pf}(A)$

• $\text{Pf}(A^T)=(-1{)}^n\text{Pf}(A)$

• Для блок-диагональной матрицы

$\text{Pf}\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& A_2\end{array}\right]=\text{Pf}(A_1)\text{Pf}(A_2).$

• Для произвольной $n\times n$ матрицы $M$:

$\text{Pf}\left[\begin{array}{cc}0& M\\ -M^T& 0\end{array}\right]=(-1{)}^{n(n-1)/2}\det M.$

История

Термин «пфаффиан» был введён Кэли и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья