Теорема Бертрана — Диге — Пюизё

Теорема Бертрана — Диге — Пюизё выражает гауссову кривизну либо в терминах длины геодезической окружности, либо в терминах площади геодезического диска. Теорема принадлежит Жозефу Бертрану, Виктору Пюизё и Шарлю Франсуа Диге.

Формулировка

Пусть $P$ — точка на гладкой поверхности $M$. Геодезической окружностью радиуса $r$ с центром в точке $P$ называют множество всех точек поверхности $M$, геодезическое расстояние которых от точки $P$ равно $r$.

Пусть $C(r)$ — длина этой геодезической окружности, а $A(r)$ — площадь диска, содержащегося внутри этой окружности. Теорема Бертрана–Диге–Пюизё утверждает, что

$K(P)=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }3\frac{2\pi r-C(r)}{\pi r^3}=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }12\frac{\pi r^2-A(r)}{\pi r^4}.$

См. также

• Формула Гаусса — Бонне

Ссылки

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation