Формула Гаусса

Шаблон:Значения Формула Гаусса (соотношение Гаусса, уравнение Гаусса) — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства. В частности, если объемлющее пространство евклидово, то гауссова кривизна поверхности равна произведению главных кривизн в этой точке.

Это формула входит в уравнения Петерсона ― Кодацци.

Формулировка

Пусть $S$ — двумерная поверхность в трёхмерном римановом пространстве $M$. Тогда

$K_S(x)=K_M({\sigma }_S(x))+{\kappa }_1(x){\kappa }_2(x),$

где

• $K_S$ — гауссова кривизна поверхности $S$ в точке $x\in S$,
• $K_M({\sigma }_S(x))$ — секционная кривизна пространства $M$ в направлении ${\sigma }_S(x)$, касательном к поверхности $S$ в точке $x$,
• ${\kappa }_1(x)$, ${\kappa }_2(x)$ — главные кривизны поверхности $S$ в точке $x.$

Вариации и обобщения

Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия $S\subset M$. В этом случае тензор кривизны $R_S$ подмногообразия $S$ выражается через сужение тензора кривизны $R_M$ пространства $M$ на подпространство касательное к $S$ и вторую квадратичную форму $q_S$ подмногообразия $S$ на касательном пространстве $TS$ со значениями в нормальном пространстве к $S$:

$⟨R_S(X,Y)Z,W⟩=⟨R_M(X,Y)Z,W⟩+⟨q_S(Y,W),q_S(X,Z)⟩-⟨q_S(X,W),q_S(Y,Z)⟩.$

Следует иметь в виду, что разные авторы определяют тензор кривизны с разным знаком и порядком аргументов.

Из формулы Гаусса можно вывести следующие две формулу для скалярной кривизны $n$-мерного подмногообразия $S$ в объемлющем многообразии $M$:

${\mathrm{S}\mathrm{c}}_S={\mathrm{S}\mathrm{c}}_M+|H_S{|}^2-|q_S{|}^2={\mathrm{S}\mathrm{c}}_M+\frac{3}{2}\cdot |H_S{|}^2-\frac{n\cdot (n+2)}{2}\cdot {\text{Ж}}_S,$

где $H_S$ обозначает вектор средней кривизны, а ${\text{Ж}}_S$ — средний квадрат нормальных кривизн в точке.

Литература

• 1. Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337.
• 2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М.: Наука, 1981, Т. 2, стр. 30.