Вторая квадратичная форма

Вторая квадратичная форма (или вторая фундаментальная форма) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

Вторая квадратичная форма часто обозначается $\mathrm{I}\mathrm{I}$, а её компоненты традиционно обозначаются $L$, $M$ и $N$.

Знание первой и второй квадратичных форм достаточно для вычисления главных кривизн, средней и гауссовой кривизн поверхности.

Определение

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ поверхность задана уравнением $r=r(u,v),$ где $u$ и $v$ ― внутренние координаты на поверхности; $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ ― дифференциал радиус-вектора $r$ вдоль выбранного направления смещения из точки $M$ в бесконечно близкую точку $M^{\prime }$; $n$ — нормальный вектор к поверхности в точке $M$. Тогда вторая квадратичная форма имеет вид

$\mathrm{I}\mathrm{I}=Ld{u}^2+2Mdudv+Nd{v}^2,$

где коэффициенты определяются формулами:

$L=⟨r_{uu},n⟩=-⟨r_u,n_u⟩=\frac{(r_{uu},r_u,r_v)}{\sqrt{EG-F^2}},$

$M=⟨r_{uv},n⟩=-⟨r_u,n_v⟩=-⟨r_v,n_u⟩=\frac{(r_{uv},r_u,r_v)}{\sqrt{EG-F^2}},$

$N=⟨r_{vv},n⟩=-⟨r_v,n_v⟩=\frac{(r_{vv},r_u,r_v)}{\sqrt{EG-F^2}},$

где $(\cdot ,\cdot ,\cdot )$ обозначает смешанное произведение векторов и $E=|r_u{|}^2,$ $F=⟨r_u,r_v⟩,$ $G=|r_v{|}^2$ ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

Связанные определения

• Оператор формы или оператор Вайнгартена линейный оператор $S$ на касательной плоскости определяемый как

  $S(V)=-{\mathrm{\nabla }}_V\nu ,$

где $\nu$ — поле единичных нормалей к поверхности. Оператор формы связан с второй квадратичной формой следующим соотношением:

$⟨S(V),W⟩=\mathrm{I}\mathrm{I}(V,W).$

• Собственные значения оператора формы называются главными кривизнами поверхности в точке, а собственные направления оператора формы называются главными направлениями поверхности в точке.
  • Кривые на поверхности, идущие в главных направлениях называются линиями кривизны.

• Нормальная кривизна $k_V$ по направлению $V$ вычисляется по формуле

  $\frac{\mathrm{I}\mathrm{I}(V,V)}{\mathrm{I}(V,V)}=⟨S(V),V⟩/|V{|}^2$

где $\mathrm{I}$ — первая квадратичная форма.

• Направление с нулевой нормальной кривизной называется асимптотическим, а кривая на поверхности идущая в асимптотическом направлении называется асимптотической кривой.

Вычисление

График функции

В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции $z=f(x,y)$ в трёхмерном евклидовом пространстве с координатами $x,y,z$, коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:

$L=\frac{f_{xx}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},M=\frac{f_{xy}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},N=\frac{f_{yy}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}.$

Вариации и обобщения

Гиперповерхности

Рассмотрим гиперповерхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением $⟨\cdot ,\cdot ⟩$. Пусть $r:{ℝ}^{m-1}\to {ℝ}^m$ — локальная карта поверхности в точке $P$.

Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле

$q_{ij}=⟨n,\frac{{\partial }^{2}r}{\partial u^i\partial u^j}⟩,i,j=1,\dots ,m-1,$

где $n$ обозначает единичный вектор нормали.

Бо́льшая коразмерность

Вторая фундаментальная форма определяется также и для подмногообразий произвольной коразмерности.

$\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)={\mathrm{\nabla }}_v^{\mathrm{\perp }}w,$

где ${\mathrm{\nabla }}_v^{\mathrm{\perp }}w$ обозначает проекцию ковариантной производной ${\mathrm{\nabla }}_{v}w$ на нормальное пространство.

В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве. Оператор формы $S_{\xi }$ зависит от нормального вектора $\xi$ и определяется через следующее соотношение:

$⟨S_{\xi }v,w⟩=-⟨\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w),\xi ⟩.$

Для подмногообразий евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:

$⟨R(u,v)w,z⟩=⟨\mathrm{I}\mathrm{I}(u,z),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)⟩-⟨\mathrm{I}\mathrm{I}(u,w),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,z)⟩.$

Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие $N$ вложено в риманово многообразие $(M,g)$ тогда тензор кривизны $R_N$ многообразия $N$ снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны $R_M$ объемлющего многообразия $M$:

$⟨R_N(u,v)w,z⟩=⟨R_M(u,v)w,z⟩+⟨\mathrm{I}\mathrm{I}(u,z),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)⟩-⟨\mathrm{I}\mathrm{I}(u,w),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,z)⟩.$

По теореме Картана, вторая квадратичная форма для вложения плоского $n$-мерного многообразия в $2\cdot n$-мерное Евклидово пространство либо вырождена, то есть существует ненулевой касательный вектор $v$ такой, что

$\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)=0$

для любого касательного вектора $w$, либо она представляется в следующем виде:

$\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)=\sum _i{\ell }_i(v)\cdot {\ell }_i(w)\cdot e_i,$

где $e_1,\dots ,e_n$ — ортонормированный базис в нормальном пространстве и ${\ell }_1,\dots ,{\ell }_n$ — линейно независимые линейные функции на касательном пространстве.

В частности, вторая квадратичная форма вложения плоского $n$-мерного многообразия в Евклидово пространство размерности меньше $2\cdot n$ является вырожденной.

См. также

• Первая квадратичная форма
• Третья квадратичная форма
• Уравнения Петерсона ― Кодацци — полный набор соотношений для первой и второй квадратичной формы поверхности.

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Чернавский, А. В.. Лекции по классической дифференциальной геометрии (2 курс)