Третья квадратичная форма

Третья квадратичная форма — один из способов описывать кривизны поверхности. Обычно обозначается $𝐈𝐈𝐈$.

Определение

Пусть $S$ обозначает оператор формы гладкой поверхности $\mathrm{\Sigma }$. Кроме того, пусть $u$ и $v$ — элементы касательного пространства $T_p$ в точке $p\in \mathrm{\Sigma }$. Третья фундаментальная форма определяется как следующее скалярное произведение

$𝐈𝐈𝐈(u,v)=⟨S(u),S(v)⟩.$

Свойства

• Третья квадратичная форма не зависит от знака нормали поверхности. (Это отличает её от второй квадратичной формы, которая меняет знак при смене знака нормали)

• Третья квадратичная форма выражается через первую и вторую квадратичную форму.

  $𝐈𝐈𝐈-2\cdot H\cdot 𝐈𝐈+K\cdot 𝐈=0,$

где $H$ — средняя кривизна поверхности и $K$ — гауссова кривизна поверхности.

• Поскольку оператор формы самосопряжён, для $u,v\in T_p(M)$ мы имеем

  $𝐈𝐈𝐈(u,v)=⟨Su,Sv⟩=⟨u,S^{2}v⟩=⟨S^{2}u,v⟩$.

См. также

• Первая квадратичная форма
• Вторая квадратичная форма