Первая квадратичная форма

Первая квадратичная форма (первая фундаментальная форма, метрический тензор, линейный элемент) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Первая квадратичная форма часто обозначается $\mathrm{I}$.

Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления гауссовой кривизны поверхности, а также для вычисления длин дуг, углов между кривыми и площади областей на поверхности.

Определение

Пусть в евклидовом пространстве со скалярным произведением $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ поверхность задана уравнением $r=r(u,v),$ где $u$ и $v$ ― внутренние координаты на поверхности; $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ ― дифференциал радиус-вектора $r$ вдоль выбранного направления смещения из точки $M$ в бесконечно близкую точку $M^{\prime }$. (Здесь $r_u$ и $r_v$ — частные производные радиус-вектора $r$ по $u$ и по $v$ соответственно.) Тогда квадрат главной части приращения длины $|M{M}^{\prime }|$ выражается квадратом дифференциала $dr$:

$\mathrm{I}=(dr{)}^2=⟨r_u,r_u⟩d{u}^2+2⟨r_u,r_v⟩dudv+⟨r_v,r_v⟩d{v}^2$

и называется первой квадратичной формой поверхности.

Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через

$E=|r_u{|}^2,F=⟨r_u,r_v⟩,G=|r_v{|}^2$

или, в тензорных символах,

$\mathrm{I}=d{r}^2=g_{1,1}d{u}^2+2g_{1,2}dudv+g_{2,2}d{v}^2.$

Тензор $g_{i,j}$ называется основным, или метрическим, тензором поверхности.

Свойства

• Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности; в частности

  $EG-F^2>0.$

См. также

• Вторая квадратичная форма
• Третья квадратичная форма
• Метрический тензор

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга