Уравнения Петерсона ― Кодацци

Уравнения Петерсона ― Кодацци (или Петерсона ― Майнарди ― Кодацци) ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам.

Уравнения

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци имеют вид

$\frac{\partial b_{i1}}{\partial u^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{i1}^1{b}_{12}+{\mathrm{\Gamma }}_{i1}^2{b}_{22}=\frac{\partial b_{i2}}{\partial u^1}+{\mathrm{\Gamma }}_{i2}^1{b}_{11}+{\mathrm{\Gamma }}_{i2}^2{b}_{21}$

где $b_{ij}$ ― коэффициенты второй квадратичной формы, ${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i$ ― символы Кристоффеля.

Свойства

• Теорема Бонне. Пусть $g=g_{ij}$ и $b=b_{ij}$, $i,j\in \{1,2\}$ — две гладкие квадратичные формы, заданные в односвязной области $U$. Если $g$ и $b$ удовлетворяют уравнениям Петерсона ― Кодацци, тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в ${ℝ}^3$, для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.
  • Эту теорему также доказал Петерсон в своей диссертации.

История

Уравнения впервые найдены Петерсоном в 1853, переоткрыты Майнарди и Кодацци (1867).

Вариации и обобщения

Известен вариант уравнений для гиперповерхносей в пространствах старших размерностей, а также для произвольных коразмерностей.

Литература

• Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, М., 1956.
• Шаблон:Книга