Геодезическая кривизна

Геодезическая кривизна $k_g$ кривой $\gamma$ в римановой геометрии измеряет, насколько сильно кривая отличается от геодезической. Например, для 1D кривой на 2D поверхности, вложенной в 3D пространство, это кривизна кривой, спроецированной на плоскость, касательную к поверхности. Более общо, в заданном многообразии $\overline{M}$ геодезическая кривизна ― это обычная кривизна кривой $\gamma$ (см. ниже). Однако если кривая $\gamma$ лежит в подмногообразии $M$ многообразия $\overline{M}$ (например, для кривизны поверхности), геодезическая кривизна относится к кривизне $\gamma$ в $M$, и она отличается в общем виде от кривизны $\gamma$ в объемлющем многообразии $\overline{M}$. (Объемлющая) кривизна $k$ кривой $\gamma$ зависит от двух факторов ― кривизны подмногообразия $M$ в направлении $\gamma$ (нормальная кривизна $k_n$), которая зависит только от направления кривой и кривизны $\gamma$ в многообразии $M$ (геодезическая кривизна $k_g$), которая является величиной второго порядка. Связь между ними ― $k=\sqrt{k_g^2+k_n^2}$. В частности, геодезические на $M$ имеют нулевую геодезическую кривизну («прямые»), так что $k=k_n$.

Определение

Рассмотрим кривую $\gamma$ на многообразии $\overline{M}$, параметризованную длиной кривой, с единичным касательным вектором $T=d\gamma /ds$. Её кривизна равна норме ковариантной производной вектора $T$: $k=\Vert DT/ds\Vert$. Если $\gamma$ лежит на $M$, геодезическая кривизна равна норме проекции ковариантной производной $DT/ds$ на касательное пространство подмногообразия. Напротив, нормальная кривизна равна норме проекции $DT/ds$ на нормальное расслоение подмногообразия в рассматриваемой точке.

Если объемлющее многообразие является евклидовым пространством ${ℝ}^n$, то ковариантная производная $DT/ds$ равна обычной производной $dT/ds$.

Пример

Пусть $M$ будет единичной сферой $S^2$ в трёхмерном евклидовом пространстве. Нормальная кривизна сферы $S^2$ равна 1, независимо от рассматриваемого направления. Большие круги имеют кривизну $k=1$, так что они имеют нулевую геодезическую кривизну, а потому являются геодезическими. Меньшие круги радиуса $r$ будут иметь кривизну $1/r$ и геодезическую кривизну $k_g=\frac{\sqrt{1-r^2}}{r^2}$.

Некоторые результаты, использующие геодезическую кривизну

• Геодезическая кривизна ― это не что иное, как обычная кривизна, вычисленная в подмногообразии $M$. Она не зависит от способа размещения подмногообразия $M$ в $\overline{M}$.
• Геодезическая на $M$ имеет нулевую геодезическую кривизну, что эквивалентно высказыванию, что $DT/ds$ ортогонален касательному пространству к $M$.
• С другой стороны, нормальная кривизна строго зависит от того, как подмногообразие расположено в объемлющем пространстве, но мало от кривой ― $k_n$ зависит только от точки на многообразии и направления $T$, но не от $DT/ds$.
• В общей римановой геометрии производная вычисляется с помощью связности Леви-Чивиты $\overline{\mathrm{\nabla }}$ объемлющего многообразия: $DT/ds={\overline{\mathrm{\nabla }}}_{T}T$. Она распадается на касательную часть и нормальную часть для подмногообразия ― ${\overline{\mathrm{\nabla }}}_{T}T={\mathrm{\nabla }}_{T}T+({\overline{\mathrm{\nabla }}}_{T}T{)}^{\perp }$. Касательная часть является обычной производной ${\mathrm{\nabla }}_{T}T$ в $M$ (это частный случай уравнения Гаусса для Уравнения Петерсона ― Кодацци), в то время как нормальная часть равна $\mathrm{I}\mathrm{I}(T,T)$, где $\mathrm{I}\mathrm{I}$ означает вторую квадратичную форму.
• Формула Гаусса — Бонне.

См. также

• Кривизна
• Поверхность Дарбу
• Уравнения Петерсона ― Кодацци

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld