Связность Леви-Чивиты

Свя́зность Леви-Чиви́ты (или связность, ассоциированная с метрикой) — одна из основных структур на римановом многообразии. Даёт естественный способ дифференцировать векторные поля на римановом многообразии; эквивалентно заданию ковариантного дифференцирования, а также параллельного перенесения вдоль кривых. Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.

Определение

Связность Леви-Чивиты есть аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии $M$, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность $\mathrm{\nabla }$ на римановом многообразии $(M,g)$ называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

1. (римановость) для любых векторных полей $X$, $Y$, $Z$ верно

   $X(g(Y,Z))=g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z),$ Шаблон:PbШаблон:Indent где $X(g(Y,Z))$ обозначает производную $g(Y,Z)$ в направлении $X$.

2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей $X$ и $Y$

   ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X-[X,Y]=0,$, Шаблон:PbШаблон:Indent где $[X,Y]$ — скобки Ли векторных полей $X$ и $Y$.

Свойства

• Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.

См. также

• Метрическая связность
• Параллельное перенесение
• Символы Кристоффеля

Литература

• Шаблон:Книга