Односвязное пространство

Стягивание контура в точку на сфере

Поверхность тора — пример не односвязного пространства

Односвязное пространство — линейно связное топологическое пространство, в котором любой замкнутый путь можно непрерывно стянуть в точку. Пример: сфера односвязна, а поверхность тора не односвязна, потому что окружности на торе, показанные красным на рисунке, нельзя стянуть в точку.

Определения

• Линейно связное топологическое пространство $X$ называется односвязным, если все замкнутые пути в нём гомотопны нулю.

• Эквивалентное определение: Линейно связное топологическое пространство $X$ называется односвязным, если фундаментальная группа пространства $X$ тривиальна.

Примеры

• Любое выпуклое множество в евклидовом пространстве ${ℝ}^n$ односвязно.
• Дополнение ${ℝ}^n\mathrm{\setminus }A,n⩾3$, где $A$ — не более чем счётный набор аффинных подпространств в ${ℝ}^n$ коразмерности 3 или больше, является односвязным.
• Круговое кольцо, лента Мёбиуса, проективная плоскость не односвязны.

Свойства

Односвязность является гомотопическим инвариантом, то есть гомотопически эквивалентные пространства либо оба односвязны, либо оба не односвязны.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Книга