Теорема Миттаг-Леффлера

Шаблон:Значения Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции — одна из основных теорем теории аналитических функций. Обобщает разложение рациональной функции на простейшие дроби на мероморфные функции.

Теорема

Пусть мероморфная функция $f(z)$ имеет в точках $z=a_k,|a_1|⩽|a_2|⩽\dots ⩽|a_k|⩽\dots$ полюсы с главными частями $g_k(\frac{1}{z-a_k})=G_k(z)$ и пусть $h_k^{(p)}=G_k(0)+G_k^1(0)z+\dots +\frac{G_k^{(p)}(0)}{p!}{z}^p$ будут отрезки тейлоровских разложений $g_k\left(\frac{1}{z-a_k}\right)$ по степеням $z$. Тогда существует такая последовательность целых чисел $p_k$ и такая целая функция $f_0(z)$, что для всех $z\ne a_k$ имеет место разложение $f(z)=f_0(z)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\{g_k\left(\frac{1}{z-a_k}\right)-h_k^{p_k}(z)\}$, равномерно сходящееся в любом конечном круге $|z|⩽A$.

Следствие

Любая мероморфная функция $f(z)$ представима в виде суммы ряда $f(z)=h(z)+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(g_n(z)-P_n(z))$ , где $h$ — целая функция, $g_n$ — главные части лорановских разложений в полюсах $f(z)$, занумерованных по возрастанию их модулей, и $P_n$ — некоторые многочлены.

Литература

• Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — С. 313