Геометрический род

Геометрический род — это базовый Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Math алгебраических многообразий и комплексных многообразий.

Определение

Геометрический род может быть определён для Шаблон:Не переведено 5 комплексных проективных многообразий и, более общо, для комплексных многообразий, как число Ходжа Шаблон:Math (равное Шаблон:Math согласно двойственности Серра), то есть, как размерность канонической линейной системы плюс единица.

Другими словами, для многообразия Шаблон:Mvar Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Mvar это значение равно числу линейно независимых голоморфных Шаблон:Mvar-форм на многообразии Шаблон:MvarШаблон:Sfn. Это определение как размерность пространства

$H^0(V,{\mathrm{\Omega }}^n)$

тогда переносится на любое базовое поле, если Шаблон:Math брать как пучок кэлеровых дифференциалов, а степень равна внешнему произведению, каноническому линейному расслоению.

Геометрический род является первым инвариантом $p_g=P_1$ последовательности инвариантов $P_n$, носящих название Шаблон:Не переведено 5 (или кратный род).

Случай кривых

В случае комплексных многообразий несингулярные кривые являются римановыми поверхностями. Алгебраическое определение рода согласуется с топологическим понятием рода. На несингулярной кривой каноническое линейное расслоение имеет степень $2g-2$.

Понятие рода присутствует заметно в утверждении теоремы Римана — Роха (см. также теорему Римана — Роха для поверхностей) и Шаблон:Не переведено 5. По теореме Римана — Роха неприводимая плоская кривая степени d имеет геометрический род

$g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-s,$

где s — число особых точек, нужным образом подсчитанных.

Если Шаблон:Mvar является неприводимой (и гладкой) поверхностью в Шаблон:Не переведено 5, определяемой полиномиальным уравнением степени Шаблон:Mvar, то её нормальное линейное расслоение является скручивающим пучком Серра $𝒪(d)$, так что по Шаблон:Не переведено 5 каноническое линейное расслоение поверхности Шаблон:Mvar задаётся равенством ${𝒦}_C=[{𝒦}_{{\mathbb{P}}^2}+𝒪(d){]}_{\mid C}=𝒪(d-3{)}_{\mid C}$.

Род сингулярных многообразий

Определение геометрического рода переносится классическим образом на сингулярные кривые Шаблон:Mvar путём констатации, что $p_g(C)$ является геометрическим родом нормализации Шаблон:Math. То есть, поскольку отображение $C^{\prime }\to C$ является бирациональным, определение расширяется бирациональным инвариантом.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Инварианты поверхностей

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга