Теорема Римана — Роха для поверхностей

Теорема Римана — Роха для поверхностей описывает размерность линейных систем на алгебраической поверхности. В классическом виде теорему первым сформулировал КастельнуовоШаблон:Sfn после предварительных версий Макса НётераШаблон:Sfn и Энриквеса. Версия в терминах пучков принадлежит Хирцебруху.

Утверждение теоремы

Одна из форм теоремы Римана — Роха утверждает, что если D является дивизором несингулярной проективной поверхности, то

$\chi (D)=\chi (0)+\frac{1}{2}D.(D-K)$,

где χ — голоморфная эйлерова характеристика, символ «точка» — индекс пересечения, а K — канонический дивизор. Константа χ(0) является голоморфной эйлеровой характеристикой тривиального расслоения и равна 1 + p_a, где p_a — Шаблон:Не переведено 5 поверхности. Для сравнения, теорема Римана — Роха для кривой утверждает, что $\chi (D)=\chi (0)+deg(D)$.

Формула Нётера

Формула Нётера утверждает, что

$\chi =\frac{c_1^2+c_2}{12}=\frac{(K.K)+e}{12}$,

где χ=χ(0) — голоморфная эйлерова характеристика, $c_1^2=(K.K)$ — число Чженя и число самопересечений канонического класса K, а $e=c_2$ является топологической эйлеровой характеристикой. Формула может быть использована для замены члена χ(0) в теореме Римана — Роха в топологических терминах. Это даёт Шаблон:Не переведено 5 для поверхностей.

Связь с теоремой Хирцебруха — Римана — Роха

Для поверхностей Шаблон:Не переведено 5, по существу, является теоремой Римана — Роха для поверхностей, скомбинированной с формулой Нётера. Чтобы это видеть, напомним, что для любого дивизора D на поверхности существует обратимый пучок L = O(D), такой, что линейная система дивизора D является более или менее пространством сечений L. Для поверхностей класс Тодда — это $1+c_1(X)/2+(c_1(X{)}^2+c_2(X))/12$, а характер Чженя пучка L — это просто $1+c_1(L)+c_1(L{)}^2/2$. Таким образом, теорема Хирцебруха — Римана — Роха утверждает, что

$\begin{array}{cc}\chi (D)& =h^0(L)-h^1(L)+h^2(L)\\ & =\frac{1}{2}{c}_1(L{)}^2+\frac{1}{2}{c}_1(L)c_1(X)+\frac{1}{12}(c_1(X{)}^2+c_2(X))\end{array}$

К счастью, формулу можно переписать в более ясном виде следующим образом. В первую очередь, полагая D = 0, получим, что

$\chi (0)=\frac{1}{12}(c_1(X{)}^2+c_2(X))$     (Формула Нётера)

Для обратимых пучков (линейных расслоений) второй класс Чженя равен нулю. Произведения вторых классов когомологий можно отождествить с числами пересечения в Шаблон:Не переведено 5, и мы получаем более классическую версию теоремы Римана — Роха для поверхностей:

$\chi (D)=\chi (0)+\frac{1}{2}(D.D-D.K)$

При желании мы можем использовать двойственность Серра для выражения $h^2(\mathrm{O}(D))$ как $h^0(\mathrm{O}(K-D))$, но, в отличие от случая кривых, не имеется в общем случае простого пути записать член $h^1(\mathrm{O}(D))$ в форме, не использующей когомологии пучков (хотя, на практике, он часто обращается в нуль).

Ранние версии

Наиболее ранние формы теоремы Римана — Роха для поверхностей часто формулировались в виде неравенств, а не равенств, поскольку не было прямого геометрического описания групп первой когомологии. Типичный пример формулировки дал ЗарисскийШаблон:Sfn, в которой утверждается

$r⩾n-\pi +p_a+1-i$,

где

• r — размерность полной линейной системы |D| дивизора D (так что $r=h^0(\mathrm{O}(D))-1$)
• n — виртуальная степень дивизора D, задаваемая числом самопересечений (D.D)
• π — виртуальный род дивизора D, равен 1 + (D.D + K.D)/2
• p_a — арифметический род $\chi ({\mathrm{O}}_F)-1$ поверхности
• i — индекс специфичности дивизора D, равен $dim{H}^0(\mathrm{O}(K-D))$ (что, согласно двойственности Серра, равно $dim{H}^2(\mathrm{O}(D))$).

Разность двух частей этого неравенства называется избыточностью s дивизора D. Сравнение этого неравенства с версией теоремы Римана — Роха с пучками показывает, что избыточность дивизора D задаётся равенством $s=dim{H}^1(\mathrm{O}(D))$. Дивизор D назывался регулярным, если $i=s=0$ (или, другими словами, если все группы высоких когомологий O(D) обращаются в нуль) и избыточным, если $s>0$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья