Двойное отношение

Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение) четвёрки чисел $a$, $b$, $c$, $d$ (вещественных или комплексных) определяется как

$(ab,cd)=\frac{c-a}{c-b}:\frac{d-a}{d-b}.$

Также встречаются обозначения $(a,b;c,d)$ и $[a,b;c,d]$.

Свойства

• $(ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)$.
• Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях, в частности не зависит от выбора координат на прямой.

$(ab,cd)=\frac{1}{(ba,cd)}=\frac{1}{(ab,dc)}=1-(ac,bd)$.

В частности, если двойное отношение четвёрки чисел равно $\lambda$, тогда двойное отношение любой из 24 перестановок четвёрки равно одному из следующих шести значений:

$\lambda ,\frac{1}{\lambda },1-\lambda ,\frac{1}{1-\lambda },\frac{\lambda -1}{\lambda },\frac{\lambda }{\lambda -1}$.

Вариации и обобщения

Двойным (или сложным) отношением четвёрки точек $A$, $B$, $C$, $D$, лежащих на одной (вещественной или комплексной) прямой, называют число

$(AB,CD)=\frac{c-a}{c-b}:\frac{d-a}{d-b},$

где через $a$, $b$, $c$, $d$ обозначены координаты точек $A$, $B$, $C$, $D$ соответственно. Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой. Часто пишут также так:

$(AB,CD)=\frac{AC}{BC}:\frac{AD}{BD},$

подразумевая, что через $AC/BC$ (соответственно $AD/BD$) обозначено отношение направленных отрезков.

• Двойное отношение четвёрки точек на прямой сохраняется при проективных преобразованиях плоскости или пространства.

Двойным отношением четвёрки прямых $a$, $b$, $c$, $d$, проходящих через одну точку, называют число

$(ab,cd)=\pm \frac{\sin (a,c)}{\sin (b,c)}:\frac{\sin (a,d)}{\sin (b,d)},$

знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми $a$ и $b$, не пересекается ни с одной из прямых $c$ или $d$ (в этом случае говорят, что пара прямых $a$ и $b$ не разделяет пару прямых $c$ и $d$), то $(ab,cd)>0$; в противном случае $(ab,cd)<0$.

• Пусть четвёрка прямых $a$, $b$, $c$, $d$ проходит через точку $O$, а прямая $\ell$ не содержит $O$. Предположим прямые $a$, $b$, $c$, $d$ пересекаются с $\ell$ соответственно в точках $A$, $B$, $C$ и $D$. Тогда

  $(ab,cd)=(AB,CD).$

См. также

• Гармоническая четвёрка точек и прямых
• Простое отношение
• Пропорциональные отрезки

Ссылки

• Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика?
• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
• Шаль, Мишель. Об ангармонической функции четырех точек или четырех прямых // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.