Отношение направленных отрезков

Отноше́ние напра́вленных отре́зков — инвариант аффинной геометрии. Используется в формулировках теоремы Менелая, теоремы Чевы, теоремы Ван-Обеля и других.

Определение

Отношение направленных отрезков определено для двух отрезков $XY$ и $ZT$ на одной прямой (или на параллельных прямых) и обозначается $\frac{XY}{ZT}$. С точностью до знака оно равно отношению длин $\frac{|XY|}{|ZT|}$, и величина $\frac{XY}{ZT}$ положительна, если $\overrightarrow{XY}$ и $\overrightarrow{ZT}$ сонаправлены, и отрицательна, если противонаправлены. Другими словами, величина $\frac{XY}{ZT}$ определяется как число, удовлетворяющее следующему соотношению:

$\overrightarrow{XY}=\frac{XY}{ZT}\cdot \overrightarrow{ZT}.$

Связанные определения

Если три точки $X,Y,Z$ лежат на одной прямой, то отношение направленных отрезков $\frac{XY}{YZ}$ называется также простым отношением точек $X,Y,Z$; оно положительно если $Y$ лежит между $X$ и $Z$ и отрицательно если $Y$ лежит вне отрезка $XZ$.

Свойства

• Отношение направленных отрезков является инвариантом аффинных преобразований.

См. также

• Двойное отношение
• Пропорциональные отрезки

Ссылки

• Шаблон:Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией