Теорема Менелая

Теоре́ма Менела́я, или теорема о трансверсалях, или теорема о полном четырёхстороннике, — классическая теорема аффинной геометрии.

Формулировка

Файл:Teorema menelaya.gif

Если точки $A^{\prime },B^{\prime }$ и $C^{\prime }$ лежат соответственно на сторонах $BC,CA$ и $AB$ треугольника $\mathrm{△}ABC$ или на их продолжениях, то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

$\frac{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}\cdot \frac{C{A}^{\prime }}{A^{\prime }B}\cdot \frac{B{C}^{\prime }}{C^{\prime }A}=-1.$

где $\frac{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}$, $\frac{C{A}^{\prime }}{A^{\prime }B}$ и $\frac{B{C}^{\prime }}{C^{\prime }A}$ обозначают отношения направленных отрезков.

Замечания

• В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:

  $\frac{|A{B}^{\prime }|}{|B^{\prime }C|}\cdot \frac{|C{A}^{\prime }|}{|A^{\prime }B|}\cdot \frac{|B{C}^{\prime }|}{|C^{\prime }A|}=1.$

Вариации и обобщения

• Тригонометрический эквивалент:

$\frac{\sin \mathrm{\angle }BA{A}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }{A}^{\prime }AC}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }CB{B}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }{B}^{\prime }BA}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }AC{C}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }{C}^{\prime }CB}=-1$, где все углы — ориентированные.

• В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид

$\frac{\sin |A{B}^{\prime }|}{\sin |B^{\prime }C|}\cdot \frac{\sin |C{A}^{\prime }|}{\sin |A^{\prime }B|}\cdot \frac{\sin |B{C}^{\prime }|}{\sin |C^{\prime }A|}=1.$

• В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид

$\frac{\mathrm{sh}|A{B}^{\prime }|}{\mathrm{sh}|B^{\prime }C|}\cdot \frac{\mathrm{sh}|C{A}^{\prime }|}{\mathrm{sh}|A^{\prime }B|}\cdot \frac{\mathrm{sh}|B{C}^{\prime }|}{\mathrm{sh}|C^{\prime }A|}=1.$

История

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.

Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.

Применения

• Теорема Сальмона
• Многие теоремы проективной геометрии, например, теорема Паппа и теорема Дезарга, доказываются многократным применением теоремы Менелая.

См. также

• Двойное отношение
• Отношение направленных отрезков
• Пропорциональные отрезки
• Прямая Ньютона
• Теорема Чевы
• Теорема Ван-Обеля о треугольнике

Ссылки

• Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М.: Наука, 1987. —(Библиотечка «Квант»)).
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией
• Шаблон:Книга:Элементарная геометрия. Понарин
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья