Теорема Ван-Обеля о треугольнике

Теорема Ван-Обеля — классическая теорема аффинной геометрии.

Формулировка

Случай, когда все три точки лежат на сторонах треугольника, а не на их продолжениях.

Случай, когда две точки лежат на продолжениях сторон.

Если прямые $AP$, $BP$, $CP$ пересекают соответственно прямые $BC$, $CA$ и $AB$, содержащие стороны треугольника $ABC$ соответственно в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$, то имеет место равенство отношений направленных отрезков:

$\frac{A{C}_1}{C_{1}B}+\frac{A{B}_1}{B_{1}C}=\frac{AP}{P{A}_1}$.

Замечания

• Если отрезки сонаправлены (одинаково направлены), то верхние знаки направленных отрезков можно убрать, и мы получим скалярный вариант теоремы Ван-Обеля:

  $\frac{A{C}_1}{C_{1}B}+\frac{A{B}_1}{B_{1}C}=\frac{AP}{P{A}_1}$.

О доказательствах

Обычно доказывается применением метода центров масс; доказательство можно также построить на основе теоремы Менелая.

См. также

• Отношение направленных отрезков
• Теорема Менелая
• Теорема Чевы