Функции Чебышёва

Функции ЧебышёваШаблон:Ref+ — теоретико-числовые функции $θ (x)$ и $ψ (x)$ , связанные с распределением простых чисел и определённые как

θ (x) = \sum_{p ⩽ x} \ln p

и

ψ (x) = \sum_{m \in ℕ} \sum_{p^{m} ⩽ x} \ln p,

где $p$ — простые числа, $m$ — натуральные числа.

Введены русским математиком Пафнутием Чебышёвым.

Свойства

Определение пси-функции Чебышёва может быть записано через функцию Мангольдта: $ψ (x) = \sum_{n ⩽ x} Λ (n)$ .
Функции Чебышёва связаны соотношением $ψ (x) = θ (x) + θ (\sqrt{x}) + θ (\sqrt[3]{x}) + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty} θ (\sqrt[n]{x})$ (где только первые несколько слагаемых не равны нулю), откуда следует асимптотическое соотношение $ψ (x) = θ (x) + O (\sqrt{x})$ .
Потенцирование даёт: $e^{ψ (x)} = lcm (1, 2, . . ., [x])$ , $e^{θ (x)} = \prod_{p ⩽ x} p$ .

Функции Чебышёва связаны с функцией распределения простых чисел: $ψ (x) \sim θ (x) \sim π (x) \ln x$ .
Для пси-функции Чебышёва существуют явные формулы, получаемые анализом дзета-функции Римана:

ψ (x) = x - \sum_{ρ} \frac{x^{ρ}}{ρ} - \ln 2 π - \frac{1}{2} \ln (1 - x^{- 2}),

где $ρ$ пробегает все нетривиальные нули дзета-функции.

Теорема Валле — Пуссена о распределении простых в терминах пси-функции формулируется так:

ψ (x) = x + O (e^{- c \sqrt{\ln x}})

А гипотеза Римана эквивалентна утверждению

ψ (x) = x + O (\sqrt{x} \ln^{2} x)