Теорема о распределении простых чисел

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел, которая утверждает, что функция распределения простых чисел $\pi (n)$ (количество простых чисел на отрезке $[1;n]$) растёт с увеличением $n$ как $\frac{n}{\ln n}$, то есть:

$\frac{\pi (n)}{n/\ln n}\to 1$, когда $n\to \mathrm{\infty }.$

Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до $n$ вероятность оказаться простым примерно равна $\frac{1}{\ln n}$.

Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения $k$-го простого числа $p_k$: она утверждает, что

$p_k\sim k\ln k,k\to \mathrm{\infty }$

(здесь и далее запись $f\sim g$ означает, что $f/g\to 1$ когда аргумент функций стремится к бесконечности).

Более точно распределение простых чисел описывает функция интегрального логарифма. При справедливости гипотезы Римана верно

$\pi (n)=\mathrm{Li}(n)+O(\sqrt{n}\ln n)$ при $n\to \mathrm{\infty }.$

История

Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму»Шаблон:Sfn. К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил (в 1796 году), что функция распределения простых чисел $\pi (x)$ (число простых чисел, не превосходящих x) может быть приближена выражением:

$\pi (x)\sim \frac{x}{\ln (x)-B}$

где $B\approx 1,08366.$ Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию — интегральный логарифм:

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\ln x}dx$

Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций $\pi (x)$ и $x/\ln (x)$, указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.

В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышёв доказывает, что верхний M и нижний m пределы отношения

Шаблон:EF

заключены в пределах $0,92129⩽m⩽M⩽1,10555$, а также, что если предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.

В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) ζ-функцию в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и де ла Валле Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.

Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство Эрдеша—Сельберга.

Общий ход доказательства

Переформулировка в терминах пси-функции Чебышёва

Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышёва, определяемой как

$\psi (x)=\sum _{p^k\le x}\log p,(*)$

иными словами, пси-функция Чебышёва это сумма функции Мангольдта:

$\psi (x)=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n),\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\log p,& n=p^k,k\ge 1,p\text{is a prime}\\ 0,& \text{otherwise}.\end{array}$

А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что Шаблон:Рамка

$\psi (x)\sim x,x\to \mathrm{\infty }.$

Шаблон:Конец рамки Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка $[1,n]$, а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы $\ln p$ примерно равны $\ln x$, и функция $\psi (x)$ асимптотически ведёт себя так же, как $\pi (x)\cdot \ln x$.

Классические рассуждения: переход к дзета-функции Римана

Как следует из тождества Эйлера,

$\zeta (s)=\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}},$

ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:

$\sum _n\mathrm{\Lambda }(n)n^{-s}=-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}.$

Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции $a^s/s$ равен $2\pi i$ при $a>1$ и 0 при $0<a<1$. Поэтому, умножение правой и левой части на $\frac{1}{2\pi i}{x}^s/s$ и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) интегрирование по вертикальной прямой по $ds$ оставляет в левой части в точности сумму $\mathrm{\Lambda }(n)$ с $n⩽x$. С другой стороны, применение теоремы о вычетах позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке $s=1$ — полюс первого порядка с вычетом, равным $(-1)$.

Строгая реализация этой программы позволяет получить Шаблон:Не переведено:

$\psi (x)=x-\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{\rho :\zeta (\rho )=0,}{0<\mathrm{Re}(\rho )<1}}\frac{x^{\rho }}{\rho }-\log (2\pi )-\frac{1}{2}\log (1-x^{-2}).(**)$

Суммирование тут ведётся по нулям $\rho$ дзета-функции, лежащим в критической полосе $0<\mathrm{Re}(s)<1$, слагаемое $-\log (2\pi )=-\frac{{\zeta }^{\prime }(0)}{\zeta (0)}$ отвечает полюсу $\frac{x^s}{s}$ в нуле, а слагаемое $-\log (1-x^{-2})/2$ — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции $s=-2,-4,-6,\dots$.

Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение $\psi (x)\sim x$ (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем $x$). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения $\psi (x)$ от $x$, и, соответственно, на отклонения $\pi (x)$ от $x/\ln x$.

Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-Сельберга

Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как

$\ln n=\sum _{p,k:p^k|n}\ln p$

тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как

$\ln =\mathrm{\Lambda }*\mathrm{𝟏},$

где $\ln$ и $\mathrm{𝟏}$ — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.

Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести $\mathrm{𝟏}$ в правую часть:

$\mathrm{\Lambda }=\ln *\mu ,(**)$

где $\mu$ — функция Мёбиуса.

Сумма левой части (**) — искомая функция $\psi$. В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме $\sum _{k}L\left(\frac{n}{k}\right)\mu (k),$ где $L$ — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена позволяет записать $L(n)$ как

$L(n)=n\ln n-n+\frac{1}{2}\ln n+\gamma +o(1),$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид $\sum _{k}F\left(\frac{n}{k}\right)$ для подходящим образом подобранной функции F (а именно, $F(x)=x-\gamma -1$), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса

$\mathrm{\Lambda }=F+\sum _{k}R\left(\frac{n}{k}\right)\mu (k).$

Поскольку $F(x)\sim x,$ остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид $o(x)$. Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения $M(x)=o(x),$ где $M(x)=\sum _{n⩽x}\mu (n)$ — функция Мертенса, сумма функции Мёбиуса.

Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции $1/n$.

Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка

${\mu }^{\prime }=-\mu *\mathrm{\Lambda },$

где $f^{\prime }(n)=f(n)\cdot \ln n$ — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

${\mu }^{″}=\mu *(\mathrm{\Lambda }*\mathrm{\Lambda }-{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }).$

«Усредение» этого уравнения и то, что асимптотика суммы функции ${\mathrm{\Lambda }}_2=\mathrm{\Lambda }*\mathrm{\Lambda }+\mathrm{\Lambda }$ оценивается лучше асимптотики сумм $\mathrm{\Lambda }$, позволяет оценивать отношение $\frac{M(x)}{x}$ через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку $M(x)=o(x)$.

См. также

• Дзета-функция Римана
• Постулат Бертрана

Литература

Классические труды

• Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta (s)$ et ses conséquences arithmétiques. Bull. Soc. Math. France, № 24 (1896), 199—220.
• Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
• Чебышёв П. Л. Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины, 1848.
• Чебышёв П. Л. О простых числах, 1850.
• Шаблон:Статья

Современная литература

• Шаблон:Книга
• Диамонд Г. Элементарные методы в изучении распределения простых чисел, УМН, 45:2(272) (1990), 79-114.
• Постников А. Г., Романов Н. П. Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел, УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87
• Erdős, P. Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
• Selberg, A. An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld