Основная теорема о вычетах

Основна́я теоре́ма о вы́четах — мощный инструмент для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Её часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Illustration of the setting.

Формулировка: если функция $f$ аналитична в некоторой замкнутой односвязной области $\bar{G}\subset ℂ$, за исключением конечного числа особых точек $a_1,a_2,\dots ,a_n$, из которых ни одна не принадлежит граничному контуру $\partial G$, то справедлива следующая формула:

$\underset{\partial G}{\int }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=a_k}f(z),$

где ${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=a_k}f$ — вычет функции $f$ в точке $a_k$.

Обход контура $\partial G$ производится против часовой стрелки. Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно аналитически продолжить интегрируемую вещественную функцию на комплексную плоскость и найти её вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав её правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

Пример

Интеграл

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itx}}{x^2+1}dx$

Контур интегрирования

возникает в теории вероятностей при расчёте характеристической функции распределения Коши и не поддаётся вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру $C$, указанному на рисунке ($a>1$). Интеграл равен

$\underset{C}{\int }f(z)dz=\underset{C}{\int }\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz.$

Так как $e^{itz}$ — целая функция (нет сингулярностей на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где $z^2+1=0$. Так как $z^2+1=(z+i)(z-i)$, это возможно лишь при $z=i$ или $z=-i$. В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.

$\frac{e^{itz}}{z^2+1}$	$=\frac{e^{itz}}{2i}(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i})$
	$=\frac{e^{itz}}{2i(z-i)}-\frac{e^{itz}}{2i(z+i)},$

Вычет $f(z)$ в $z=i$ равен

${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=i}f(z)=\frac{e^{-t}}{2i}.$

Тогда, по основной теореме о вычетах:

$\underset{C}{\int }f(z)dz=2\pi i{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=i}f(z)=2\pi i\frac{e^{-t}}{2i}=\pi e^{-t}.$

Контур $C$ можно разбить на прямую часть и кривую дугу, так что

$\underset{\text{straight}}{\int }+\underset{\text{arc}}{\int }=\pi e^{-t}.$

Поэтому

$\underset{-a}{\overset{a}{\int }}=\pi e^{-t}-\underset{\text{arc}}{\int }.$

Можно показать, что при $t>0$:

$\underset{\text{arc}}{\int }\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz\to 0;a\to \mathrm{\infty }.$

Поэтому, если $t>0$, то

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^{-t}.$

Аналогичным образом, для дуги, охватывающей точку $-i$ вместо $i$, можно показать, что при $t<0$:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^t,$

В итоге получаем:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^{-\left|t\right|}.$

(При $t=0$ интеграл вычисляется обычными методами анализа, он равен $\pi$)

См. также

• Теорема Мореры

Ссылки

• Residue theorem Шаблон:Wayback in MathWorld
• Residue Theorem Module by John H. Mathews