Интегральный логарифм

График функции $\mathrm{l}\mathrm{i}(x)$

Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}.$

Для устранения сингулярности при $x=1$ иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}.$

Эти две функции связаны соотношением:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)-\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\mathrm{l}\mathrm{i}(2)\approx \mathrm{1,045}163780117492\dots$

Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.

Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\mathrm{E}\mathrm{i}(\ln x).$

Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке $\mu \approx \mathrm{1,451}369234883381050283968485892027449493\dots$ (число Рамануджана — Солднера).

Разложение в ряд

Из тождества, связывающего $\mathrm{l}\mathrm{i}(x)$ и $\mathrm{E}\mathrm{i}(\ln x)$ следует ряд:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\mathrm{E}\mathrm{i}(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\ln x{)}^n}{n\cdot n!},$

где $\gamma \approx \mathrm{0,577}215664901532\dots$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln \ln x+\sqrt{x}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}(\ln x{)}^n}{2^{n-1}n!}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{1}{2k+1}.$

Интегральный логарифм и распределение простых чисел

Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем $x/\ln x$. При справедливости гипотезы Римана выполняется

$\pi (x)=\mathrm{L}\mathrm{i}(x)+O(\sqrt{x}{\ln }^2(x)).$

Для не слишком больших $x$ $\pi (x)<\mathrm{L}\mathrm{i}(x)$, однако доказано, что при некотором достаточно большом $x$ неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза, в настоящее время известно, что оно заключено где-то между 10¹⁹ и 1,3971672·10³¹⁶ ≈ e^{727,951336108}.

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — Шаблон:М., 1995. — с. 238.