Постоянная Апери

Шаблон:Вещественные константы Постоя́нная Апери́  (Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-fr) — вещественное число, обозначаемое $\zeta (3)$ (иногда ${\zeta }_3$), которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана:

$\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3}=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\dots$.

Численное значение постоянной выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

$\zeta (3)=$ 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…

Названа в честь Роже Апери, доказавшего в 1978 году, что $\zeta (3)$ является иррациональным числом (Шаблон:Нп5). Изначальное доказательство носило сложный технический характер, позднее найден простой вариант доказательства с использованием многочленов Лежандра. Неизвестно, является ли постоянная Апери трансцендентным числом.

Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 году Леонард Эйлер вычислил её с точностью до 16 значащих цифр (1,202056903159594).

Приложения в математике и физике

Двухпетлевая диаграмма Фейнмана, результат для которой содержит $\zeta (3)$

В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная $\zeta (3)$, даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при $N\to \mathrm{\infty }$ вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем $N$ (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к $1/\zeta (3)$.

Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике. Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана, изображённой на рисунке, даёт $6\zeta (3)$ (здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы, а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы $k$). Другой пример — двумерная модель Дебая.

Связь с другими функциями

Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второго порядка:

$\zeta (3)=-\frac{1}{2}{\psi }^{(2)}(1)$

и появляется в разложении гамма-функции в ряд Тейлора:

$\mathrm{\Gamma }(1+\epsilon )=e^{-\gamma \epsilon }[1+\frac{1}{12}{\pi }^2{\epsilon }^2-\frac{1}{3}\zeta (3){\epsilon }^3+O({\epsilon }^4)]$,

где в виде $e^{-\gamma \epsilon }$ факторизуются вклады, содержащие постоянную Эйлера — Маскерони $\gamma$.

Постоянная Апери также связана со значениями трилогарифма ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_3(z)$ (частный случай полилогарифма ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_n(z)$):

${\mathrm{L}\mathrm{i}}_3(1)=\zeta (3)$,

${\mathrm{L}\mathrm{i}}_3\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{6}(\ln 2{)}^3-\frac{1}{12}{\pi }^2\ln 2+\frac{7}{8}\zeta (3)$.

Представления в виде рядов

Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:

$\zeta (3)=\frac{4}{3}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k^3}=\frac{4}{3}(1-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+\cdots )$,

$\zeta (3)=\frac{8}{7}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2k+1{)}^3}=\frac{8}{7}(1+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\cdots )$.

Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа $H_k$:

$\zeta (3)=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_k}{k^2}$,

а также двукратная сумма:

$\zeta (3)=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{jk(j+k)}$.

Для доказательства иррациональности $\zeta (3)$ Роже Апери пользовался представлением:

$\zeta (3)=\frac{5}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}\frac{(k!{)}^2}{k^3(2k)!}=\frac{5}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k^3(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}$,

где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})=\frac{(2k)!}{k{!}^2}$ — биномиальный коэффициент.

В 1773 году Леонард Эйлер привёл представление в виде ряда (которое впоследствии было несколько раз заново открыто в других работах):

$\zeta (3)=\frac{1}{7}{\pi }^2[1-4\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}]$,

в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как $\zeta (2k)=(-1{)}^{k+1}(2\pi {)}^{2k}{B}_{2k}/(2(2k)!)$, где $B_{2k}$ — числа Бернулли.

Рамануджан дал несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Один пример:

$\zeta (3)=\frac{7}{180}{\pi }^3-2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3(e^{2\pi k}-1)}$

Шаблон:Нп5 получил ряды другого типа

$\zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3\sinh (\pi k)}-\frac{11}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3(e^{2\pi k}-1)}-\frac{7}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3(e^{2\pi k}+1)},$

а также аналогичные представления для других постоянных $\zeta (2n+1)$.

Были также получены другие представления в виде рядов:

$\zeta (3)=\frac{1}{4}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}\frac{(56k^2-32k+5)(k-1){!}^3}{(2k-1{)}^2(3k)!}$

$\zeta (3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^k{2}^{-5+12k}k(-3+9k+148k^2-432k^3-2688k^4+7168k^5){k!}^3{(-1+2k)!}^6}{{(-1+2k)}^3\left(3k\right)!{(1+4k)!}^3}$

$\zeta (3)=\frac{1}{64}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(205k^2+250k+77)\cdot k{!}^{10}}{(2k+1){!}^5}$

$\zeta (3)=\frac{1}{24}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{((2k+1)!(2k)!k!{)}^3(126392k^5+412708k^4+531578k^3+336367k^2+104000k+12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3){!}^3}$

Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.

В 1998 году получено представление в виде ряда, которое даёт возможность вычислить произвольный бит постоянной Апери.

Представления в виде интегралов

Существует также большое количество различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа

$\zeta (3)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2}{e^x-1}dx=\frac{2}{3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2}{e^x+1}dx$

или

$\zeta (3)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (x)\ln (1-x)}{x}dx$

следующих из простейших интегральных определений дзета-функции Римана, до достаточно сложных, таких, как

$\zeta (3)=\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x)}{(x^2+1)\left[\mathrm{c}\mathrm{h}\right(\frac{1}{2}\pi x){]}^2}dx$ (Иоган Йенсен),

$\zeta (3)=-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (xy)}{1-xy}dxdy$ (Шаблон:Нп5),

$\zeta (3)=\frac{8{\pi }^2}{7}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x(x^4-4x^2+1)\ln \ln \frac{1}{x}}{(1+x^2{)}^4}dx$ (Ярослав Благушин).

Цепные дроби

Цепная дробь для константы Апери (Шаблон:OEIS) выглядит следующим образом:

$\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7,11,1,1,1,\cdots ]=$

$=1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{18+\frac{1}{1+\dots }}}}$

Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:

$\zeta (3)=1+\frac{1}{4+\frac{1^3}{1+\frac{1^3}{12+\frac{2^3}{1+\frac{2^3}{20+\frac{3^3}{1+\frac{3^3}{28+\frac{\dots }{\dots +\frac{n^3}{1+\frac{n^3}{4(2n+1)+\dots }}}}}}}}}}$

Она может быть преобразована к виду:

$\zeta (3)=1+\frac{1}{5-\frac{1^6}{21-\frac{2^6}{55-\frac{3^6}{119-\frac{4^6}{225-\frac{\dots }{\dots +\frac{n^6}{(2n^3+3n^2+11n+5)+\dots }}}}}}}$

Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:

$\zeta (3)=\frac{6}{5}-\frac{1^6}{117-\frac{2^6}{535-\frac{3^6}{1436-\frac{4^6}{3105-\frac{\dots }{\dots +\frac{n^6}{(34n^3+51n^2+27n+5)+\dots }}}}}}$

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Апери $\zeta (3)$ значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов.

Число известных значащих цифр постоянной Апери $\zeta (3)$

Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
1735	16	Леонард Эйлер
1887	32	Томас Иоаннес Стилтьес
1996	Шаблон:Nts	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997	Шаблон:Nts	Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997, май	Шаблон:Nts	Patrick Demichel
1998, февраль	Шаблон:Nts	Sebastian Wedeniwski
1998, март	Шаблон:Nts	Sebastian Wedeniwski
1998, июль	Шаблон:Nts	Sebastian Wedeniwski
1998, декабрь	Шаблон:Nts	Sebastian Wedeniwski
2001, сентябрь	Шаблон:Nts	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002, февраль	Шаблон:Nts	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003, февраль	Шаблон:Nts	Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006, апрель	Шаблон:Nts	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2009, январь	Шаблон:Nts	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2009, март	Шаблон:Nts	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2010, сентябрь	Шаблон:Nts	Alexander J. Yee
2013, сентябрь	Шаблон:Nts	Robert J. Setti
2015, август	Шаблон:Nts	Ron Watkins
2015, декабрь	Шаблон:Nts	Dipanjan Nag
2017, август	Шаблон:Nts	Ron Watkins
2019, май	Шаблон:Nts	Ian Cutress
2020, июль	Шаблон:Nts	Seungmin Kim

Другие значения дзета-функции в нечётных точках

Существует много исследований, посвящённых другим значениям дзета-функции Римана в нечётных точках $\zeta (2n+1)$ при $n>1$. В частности, в работах Шаблон:Нп5 и Тангая Ривоаля показано, что иррациональными является бесконечное множество чисел $\zeta (2n+1)$, а также что по крайней мере одно из чисел $\zeta (5)$, $\zeta (7)$, $\zeta (9)$, или $\zeta (11)$ является иррациональным.

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Mathworld