Суммы Клоостермана

Суммы Клоостермана – предмет изучения аналитической теории чисел, тригонометрические суммы над элементами кольца вычетов, обратными по модулю элементам некоторого множества с естественной структурой (как правило, интервала или простых чисел из интервала).

Первые оценки сумм получил Клоостерман в 1926 году в связи с исследованием количества представлений чисел в виде $a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} + d t^{2}$ .Шаблон:Sfn

Определение

Пусть $q \geq 3$ – произвольное целое число и для $n \in 𝔽_{q}$ взаимопростого с $q$ введено обозначение $n \overline{n} \equiv 1 (\mod q)$ . Тогда для $a, b \in 𝔽_{q}$ полной суммой Клоостермана называется сумма вида

S (q; a, b) : = \sum_{\overset{0 \leq n \leq q - 1}{(n, q) = 1}} e_{q} (a \overline{n} + b n) .

Неполной называется сумма по некоторому интервалу $\sum_{n = M + 1}^{M + N} e_{q} (a \overline{n} + b n)$ .Шаблон:Sfn

Иногда рассматриваются суммы по простым Шаблон:Sfn, полилинейные суммы с участием обратных элементовШаблон:Sfn и другие суммы вида $\sum_{n \in A} e_{q} (a \overline{n} + b n)$ , где $A \subset 𝔽_{q}$ .

При заданном $q$ обычно оцениваются суммы Клоостермана при произвольных $a = 0, b \in 𝔽_{q}$ , в том числе величина $S (q) = \max \limits_{a = 0, b \in 𝔽_{q}} S (q; a, b)$ .

Свойства

При $a = 0$ полные суммы Клоостермана вырождаются в сумму Рамануджана.

Если $(q_{1}, q_{2}) = 1$ , то $S (q) = S (q_{1}) S (q_{2})$ , поэтому вопрос оценки $S (q)$ сводится к случаю $q = p^{n}$ .

Оценки

$| S (q) | \leq τ (q) \sqrt{q}$ , где $τ (q)$ – число делителей. Из этого следует, что $\sum_{\overset{0 \leq n \leq x}{(n, q) = 1}} e_{q} (a \overline{n} + b n) \leq τ (q) \sqrt{q} (\log q + 1)$ для любого $x < q$ .^[1]

Для сумм последнего вида при $q = p, b = 0$ известны также другие оценки, нетривиальные при $x \geq \exp (Ω ((\log p)^{2 / 3} (\log \log p)^{2}))$ .^[2]