Суммы Вейля

Суммы Вейля — общее название тригонометрических сумм специального вида.

Определение

Суммами Вейля называются суммы вида

$\sum _{a<n⩽b}{e}^{2\pi if(n)}$,

где $n\in \mathbb{Z}$, а функция

$f(x)={\alpha }_k{x}^k+{\alpha }_{k-1}{x}^{k-1}+\dots +{\alpha }_{1}x+{\alpha }_0\in ℝ[x]$

есть многочлен степени $k$ с вещественными коэффициентами. Название "суммы Вейля" для тригонометрических сумм такого вида было предложено И.М. Виноградовым в честь впервые подробно рассмотревших их Г. Вейля.

Рациональные суммы Вейля

Важным примером сумм Вейля являются рациональные суммы Вейля, когда все коэффициенты многочлена $f(x)$ — рациональные числа. Более точно, рациональными суммами Вейля (по модулю $m$) называются суммы Вейля с функцией $f(x)=\frac{P_k(x)}{m}$:

$\sum _{a<n⩽b}{e}^{2\pi i\frac{P_k(n)}{m}}$,

где $m>1$ — некоторое фиксированное целое число, $n\in \mathbb{Z}$, а

$P_k(x)=a_k{x}^k+a_{k-1}{x}^{k-1}+\dots +a_{1}x+a_0\in \mathbb{Z}[x]$

есть многочлен степени $k$ с целыми коэффициентами.

Примеры рациональных сумм Вейля

• Если $f(x)=ax$, то указанная сумма является линейной тригонометрической суммой.
• Если $m=p$ — простое число, то суммы Вейля с многочленом $f(x)=a{x}^k$ $(k>1)$ называются суммами Гаусса порядка $k$, а при $k=2$ — суммами Гаусса.
• Если $m=p$ — простое число, то для каждого $n$, не кратного $p$, в поле вычетов ${\mathbb{Z}}_p$ всегда существует число $n^{*}$, обратное к $n$:

$n^{*}n\equiv 1modp$, и при этом $n^{*}\equiv n^{p-2}modp$.

Таким образом, рациональные суммы Вейля с многочленом $P_{p-1}(n)=a{n}^{p-1}+bn$ могут быть записаны в виде

$\sum _{a<n⩽b}\text{'}{e}^{2\pi i\frac{a{n}^{*}+bn}{p}}$,

(штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по всем $n$, не кратным $p$) и называются суммами Клостермана.

Оценки сумм Вейля

Оценки сумм Вейля играют важную роль в многих задачах аналитической теории чисел. Существует несколько методов оценки сумм Вейля. Наиболее простой и известный из них — метод Гаусса.

См. также

• Теорема Вейля о равномерном распределении

Литература

• Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
• И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.