Арифметико-геометрическая прогрессия

Арифметико-геометрическая прогрессия (АГП) — последовательность чисел $u_n$, задаваемая рекуррентным соотношением $u_{n+1}=q{u}_n+d$, где $q$ и $d$ — константы. Частными случаями арифметико-геометрической прогрессии являются арифметическая прогрессия (при $q=1$) и геометрическая прогрессия (при $d=0$).

Примеры

1. Стационарная последовательность может быть задана следующим образом: $u_1=1,d=3,q=-2$, т. е. $\left\{u_n\right\}:1,1,1,1,1$.
2. Убывающая последовательность: $u_1=0,d=-5,q=3$, т. е. $\left\{u_n\right\}:0,-5,-20,-65,-200,-605,-1820$.
3. Возрастающая последовательность: $u_1=\frac{2}{3},d=-1,q=3$, т. е. $\left\{u_n\right\}:\frac{2}{3},1,2,5,14,41,122,365$.

Формула для общего члена

Рассмотрим исходное соотношение: $u_{n+1}=q{u}_n+d$ при $n=1,2,...$

Пусть в этом соотношении $q\ne 1$ и $d\ne 0$. Прибавив к обеим частям выражение $\frac{d}{q-1}$, получаем

$u_{n+1}+\frac{d}{q-1}=q(u_n+\frac{d}{q-1})$

$u_n+\frac{d}{q-1}=q(u_{n-1}+\frac{d}{q-1})$

$\dots$

$u_3+\frac{d}{q-1}=q(u_2+\frac{d}{q-1})$

$u_2+\frac{d}{q-1}=q(u_1+\frac{d}{q-1})$

Перемножив указанные равенства и сократив одинаковые сомножители (или подставив вместо скобок в правой части левую часть следующего по порядку уравнения), получим явную формулу члена арифметико-геометрической прогрессии:

$u_{n+1}=q^n(u_1+\frac{d}{q-1})-\frac{d}{q-1}$

Свойства

• Арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задаётся уравнением:

$u_{n+1}=(q+1)u_n-q{u}_{n-1}$

• Прогрессия $\left\{u_n\right\}$ тогда и только тогда стационарна, когда $u_n=\frac{d}{1-q}$, причём $q\ne 1$ и $d\ne 0$.

• Разность $d$ арифметико-геометрической прогрессии определяется по формуле

$d=\frac{u_n^2-u_{n-1}{u}_{n+1}}{u_n-u_{n-1}}$

• Последовательность $a_n=u_{n+1}-u_n$ является геометрической прогрессией с тем же знаменателем $q$.
• Знаменатель $q$ находится по формуле: $q=\frac{u_{n+1}-u_n}{u_n-u_{n-1}}$

Обобщённая теорема

• Последовательность частичных сумм членов арифметико-геометрической прогрессии является возвратной последовательностью третьего порядка и задаётся уравнением:

$S_{n+1}=(q+2)S_n-(2q+1)S_{n-1}+q{S}_{n-2}$

• Если последовательность частичных сумм является арифметико-геометрической прогрессией, то сама последовательность является геометрической прогрессией.