Признак сравнения

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Доказательство

Обозначим ${\sigma }_n$ частные суммы ряда $\sum b_k$. Из неравенств $(*)$ следует, что $0⩽s_n⩽{\sigma }_n,\mathrm{\forall }n.$ Поэтому из ограниченности $({\sigma }_n)$ вытекает ограниченность $(s_n),$ а из неограниченности $(s_n)$ следует неограниченность $({\sigma }_n).$ Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для $\sum b_k.$

Признак сравнения отношений

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

Доказательство

Перемножая неравенства, составленные для $k=1,2,...,n-1$, получаем

$\frac{a_n}{a_1}⩽\frac{b_n}{b_1},$ или $a_n⩽\frac{a_1}{b_1}{b}_n,\mathrm{\forall }n.$

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов $\sum a_k$ и $\sum \frac{a_1}{b_1}{b}_k$ (и учесть, что постоянный множитель не влияет на сходимость).

Предельный признак сравнения

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

Доказательство

Из $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=c$ мы знаем, что для любого $\epsilon >0$ существует $n_0$ такое, что для всех $n\ge n_0$ мы имеем $|\frac{a_n}{b_n}-c|<\epsilon$, или, что то же самое:

$-\epsilon <\frac{a_n}{b_n}-c<\epsilon$

$c-\epsilon <\frac{a_n}{b_n}<c+\epsilon$

$(c-\epsilon )b_n<a_n<(c+\epsilon )b_n$

Так как $c>0$, мы можем взять $\epsilon$ достаточно малым, чтобы $c-\epsilon$ было положительным. Но тогда $b_n<\frac{1}{c-\epsilon }{a}_n$, и по вышеописанному признаку сравнения если $\sum _n{a}_n$ сходится, то сходится и $\sum _n{b}_n$.

Точно так же $a_n<(c+\epsilon )b_n$, и тогда, если $\sum _n{b}_n$ сходится, то сходится и $\sum _n{a}_n$.

Таким образом либо оба ряда сходятся, либо они оба расходятся.

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
• Шаблон:Книга

Ссылки

• http://www.math24.ru/comparison-tests.html