Интегральный признак Коши — Маклорена

Шаблон:Другие значения Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на $[1,\mathrm{\infty })$, последний часто может быть найден в явном виде.

Набросок доказательства

Файл:Инт признак Коши.png

1. Построим на графике $f(x)$ ступенчатые фигуры как показано на рисунке.
2. Площадь большей фигуры равна $S_b=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)$ .
3. Площадь меньшей фигуры равна $S_s=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)$ .
4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна $S_{tr}=\underset{1}{\overset{n}{\int }}f(x)dx$
5. Получаем $S_s⩽S_{tr}⩽S_b\Rightarrow S_n-a_1⩽\underset{1}{\overset{n}{\int }}f(x)dx⩽S_{n-1}$
6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Полное доказательство

$\mathrm{\forall }b>1$ $f(x)$ монотонна на $[1,b]$, следовательно $\underset{1}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ существует.

$\mathrm{\forall }x\in [n,n+1]$ $f(n)⩾f(x)⩾f(n+1)$, следовательно

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ $\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f(n)dx=f(n)⩾\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f(x)dx⩾f(n+1)$.
Отсюда, если $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ сходится, то

$S_n-f(1)=f(2)+...+f(n)⩽\underset{1}{\overset{n}{\int }}f(x)dx⩽\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx<+\mathrm{\infty }$.
Поэтому $S_n$ ограничена. А так как она неубывающая, то она сходится.

Если $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ расходится, то есть $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{n}{\int }}f(x)dx=+\mathrm{\infty }$ , то

$S_n=f(1)+...+f(n)⩾\underset{1}{\overset{n+1}{\int }}f(x)dx\to +\mathrm{\infty },$ значит ряд расходится.

Теорема доказана.

Примеры ("эталонные" ряды)

• Обобщённый гармонический ряд $\sum \frac{1}{n^p}$ сходится при $p>1$ и расходится при $p⩽1$, так как

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_1^{+\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$ (случай $p=1$),

$\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^p}dx={\frac{1}{1-p}{x}^{1-p}|}_1^{+\mathrm{\infty }}=\frac{1}{p-1}$ при $p>1$,

$\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^p}dx={\frac{1}{1-p}{x}^{1-p}|}_1^{+\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$ при $p<1$.

• $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x{\ln }^{q}x}$ сходится при $q>1$ и расходится при $q⩽1$. Для обоснования нужно рассмотреть $\underset{2}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x{\ln }^{q}x}dx$.
• На основе сравнения с этими рядами основаны признаки Раабе, Гаусса, Бертрана и некоторые другие. Серию "эталонных" рядов можно продолжить, и на их основе построить семейство все более тонких признаков для медленно сходящихся рядов.

Оценка остатка ряда

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток $r_n$ знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

$S_n-a_1⩽\underset{1}{\overset{n}{\int }}f(x)dx⩽S_{n-1}$

с помощью несложных преобразований получаем:

$\underset{n+1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx⩽r_n⩽\underset{n}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx⩽a_n+\underset{n+1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$.

См. также

• Признак Абеля
• Признак сходимости д’Аламбера
• Радикальный признак Коши
• Интеграл Коши