W-функция Ламберта

$W$-функция Ламберта определяется как обратная функция к $f(w)=w{e}^w$, для комплексных $w$. Обозначается $W(x)$ или $\mathrm{LambertW}(x)$. Для любого комплексного $z$ она определяется функциональным уравнением:

$z=W(z{e}^z)$

$W$-функция Ламберта не может быть выражена в элементарных функциях. Она применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.

История

Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера 1779-го года, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х годов. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно».

Многозначность

Основная $W_0$ (синяя) и дополнительная $W_{-1}$ (фиолетовая) ветви функции $W(x)$

График W₀(x) для −1/e ≤ x ≤ 4

Поскольку функция $f(w)$ не является инъективной на интервале $(-\mathrm{\infty },0)$, $W(z)$ является многозначной функцией на $(-\frac{1}{e},0)$.

• Если ограничиться вещественными $z=x⩾-1/e$ и потребовать $w⩾-1$, будет определена однозначная функция $W_0(x)$ — основная ветвь функции $W(x)$.
• Если ограничиться вещественными $z=x⩾-1/e$, $z=x<0$ и потребовать $w⩽-1$, будет определена однозначная функция $W_{-1}(x)$ — дополнительная ветвь функции $W(x)$.

Асимптотики

Полезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчётов.

${W(z)|}_{z\to \mathrm{\infty }}=\log (z)-\log (\log (z))$

${W(z)|}_{z\to -\frac{1}{e}}=\sqrt{2(ez+1)}-1$

Другие формулы

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}W(2{\cot }^2(x)){\sec }^2(x)\mathrm{d}x=4\sqrt{\pi }$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}W\left(\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x=\sqrt{2\pi }$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\sqrt{2\pi }$

Свойства

С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при $z\ne -\frac{1}{e}$ функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

$\frac{dW}{dz}=\frac{1}{z}\frac{W(z)}{W(z)+1}.$

С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при $|z|<\frac{1}{e}$:

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n=x-x^2+\frac{3}{2}{x}^3-\frac{8}{3}{x}^4+\frac{125}{24}{x}^5-\cdots .$

С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):

$\int W(x)dx=x(W(x)-1+\frac{1}{W(x)})+C.$

Значения в некоторых точках

$W(-\frac{\pi }{2})=\frac{i\pi }{2}$

$W(-1)\approx -0.31813+1.33723i$

$W(-\frac{1}{e})=-1$

$W(-\frac{\ln a}{a})=-\ln a$, при $\frac{1}{e}\le a\le e$

$W(0)=0$

$W(e)=1$

$W(1)=\mathrm{\Omega }\approx 0,56714329$ (постоянная Омега)

Формулы

$W(x{e}^x)=x,x>0$

$W_0(x{e}^x)=x,x⩾-1$

$W_{-1}(x{e}^x)=x,x⩽-1$

$e^{n\cdot W(x)}={\left(\frac{x}{W(x)}\right)}^n$

$\ln W(x)=\ln x-W(x),x>0$

$W\left(\frac{n{x}^n}{W(x{)}^{n-1}}\right)=nW(x),n>0,x>0$

$W(x)+W(y)=W\left(xy\left(\frac{W(x)+W(y)}{W(x)W(y)}\right)\right),x>0,y>0$

Решение уравнений с помощью W-функции

Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.

Пример 1: $x\cdot a^x=b$

$x\ln a\cdot e^{x\ln a}=b\ln a$, следовательно, $x\ln a=W(b\ln a)$, откуда $x=\frac{W(b\ln a)}{\ln a}$.

Пример 2: $x^x=a$

$x\cdot \ln x=\ln a$, следовательно, $\frac{\ln a}{x}=W(\ln a)$, откуда $x=\frac{\ln a}{W(\ln a)}$.

Пример 3: $a^x=bx$

$\frac{1}{b}=x{a}^{-x}$, тогда $-\frac{\ln a}{b}=-x\ln a\cdot e^{-x\ln a}$, следовательно, $W(-\frac{\ln a}{b})=-x\ln a$, откуда $x=-\frac{1}{\ln a}W(-\frac{\ln a}{b})$.

Обобщённые применения W-функции Ламберта

Стандартная W-функция Ламберта показывает точные решения трансцендентных уравнений формы:

$e^{-cx}=a_o(x-r)(1)$

где a₀, c и r являются вещественными константами. Решением такого уравнения является $x=r+\frac{1}{c}W\left(\frac{c{e}^{-cr}}{a_o}\right)$. Ниже перечислены некоторые из обобщённых применений W-функции Ламберта:

• Эта функция может быть использована в общей теории относительности и в квантовой механике (квантовой гравитации) в нижних измерениях. В журнале «Classical and Quantum Gravity» была представлена ранее неизвестная связь между этими двумя понятиями, где правая сторона уравнения превращается в квадратный многочлен по переменной x:

$e^{-cx}=a_o(x-r_1)(x-r_2)(2)$

и где константы r₁ и r₂, являются корнями этого квадратичного многочлена. В данном случае решением этого уравнения является функция с аргументом x , а r_i и a_o являются параметрами этой функции. С этой точки зрения, несмотря на то, что данное обобщённое применение W-функции Ламберта напоминает гипергеометрическую функцию и функцию «Meijer G», оно принадлежит к другому типу функций. Когда r₁ = r₂, то обе стороны уравнения (2) могут быть упрощены к уравнению (1), и таким образом общее решение упрощается к стандартной W-функцией. Уравнение (2) показывает определяющие отношения в скалярном поле дилатонноя, из чего следует решение задачи измерения линейной гравитации парных тел в 1+1 измерениях (измерение пространства и измерение времени) в случае неравных масс, а также решение задачи двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака для неодинаковых зарядов в одном измерении.

• Эта функция может быть использована для решения частной задачи внутренних энергий квантовой механики, состоящей в определении относительного движения трёх тел, а именно трёхмерной молекулярный ион водорода. В этом случае правая сторона уравнения (1) (или (2)) теперь становится отношением двух беспредельных многочленов по переменной x:

$e^{-cx}=a_o\frac{\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x-r_i)}{\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x-s_i)}(3)$

где r_i и s_i константы, а x является функцией между внутренней энергией и расстоянием внутри ядра R. Уравнение (3), а также его упрощённые формы, выраженные в уравнениях (1) и (2), относятся к типу дифференциальных уравнений с запозданием.

Применения W-функции Ламберта в основных проблемах физики не ограничиваются стандартным уравнением (1), как было недавно показано в областях атомной, молекулярной и оптической физики и критерий «Кейпер-Ли» для Гипотеза Римана.

Вычисление

$W$-функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения:

$w_{j+1}=w_j-\frac{w_j{e}^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_j{e}^{w_j}-z)}{2w_j+2}}$

Пример программы на языке Python:

import math

def lambertW(x, prec=1e-12):
    w = 0
    for i in range(100):
        wTimesExpW = w * math.exp(w)
        wPlusOneTimesExpW = (w + 1) * math.exp(w)
        w -= (wTimesExpW - x) / (wPlusOneTimesExpW - (w + 2) * (wTimesExpW - x) / (2 * w + 2))
        if prec > abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW):
            break
    if prec <= abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW):
        raise Exception("W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x)
    return w

Для приближённого вычисления можно использовать следующую формулу. $W(x)\approx \{\begin{array}{ccc}0,665\cdot (1+0,0195\ln (x+1))\ln (x+1)+0,04& :& 0<x\le 500\\ \ln (x-4)-(1-\frac{1}{\ln x})\ln \ln x& :& x>500\end{array}$ Приведённая функция похожа, но более чем на 10 % отличается от функции Ламберта.