Функция Фабиуса

Функция Фабиуса — классический пример гладкой, но не аналитической функции, основанный на бесконечной сумме случайных величин.

Определение

График функции Фабиуса

Функция Фабиуса определена на отрезке $[0,1]$ как функция распределения случайной величины, представляющей собой сумму

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n}{\xi }_n$,

где ${\xi }_n$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с равномерным распределением на отрезке $[0,1]$.

Свойства

Функция Фабиуса — бесконечно дифференцируемая, но не является аналитической ни в одной точке: в двоично-рациональных точках её ряд Тейлора сводится к многочлену (не совпадающему с самой функцией), а во всех прочих точках — расходится.

Функция Фабиуса $f(x)$ обладает симметрией $f(1-x)=1-f(x)$ на всём отрезке $[0,1]$. Она также удовлетворяет Шаблон:Iw

$f^{\prime }(x)=2f(2x)$

на отрезке $[0,1/2]$.

График функции Фабиуса, продолженной на все положительные значения аргумента

Используя функционально-дифференциальное уравнение, можно продолжить функцию на все положительные действительные аргументы. В результате получается последовательность отрезков, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения в точности в соответствии с последовательностью Морса — Туэ.

Значение функции Фабиуса при любом двоично-рациональном значении аргумента — рациональное число.

Альтернативные определения

Функцию неоднократно переоткрывали. Яп Фабиус ввёл приведённое выше определение в статье 1966 года. Ещё в статье 1935 года ту же самую функцию описали как преобразование Фурье бесконечного произведения

$\hat{f}(z)=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{(\cos \frac{\pi z}{2^m})}^m$.

Также функция Фабиуса совпадает с атомарной функцией up(x), введённой Владимиром Рвачёвым, при соответствующем сдвиге аргумента.

Ссылки

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite thesis
• Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Cite arXiv
• В. Л. Рвачёв, В. А. Рвачёв, «Неклассические методы теории приближений в краевых задачах», Наукова думка, Киев (1979).
• Шаблон:Публикация
• Шаблон:OEIS long