Биномиальный ряд

Биномиальный ряд — это Ряд Тейлора для функции $f$, заданной выражением $f(x)=(1+x{)}^{\alpha },$ где $\alpha \in ℂ$ является произвольным комплексным числом, а |x| < 1. Ряд в явном виде,

и биномиальный ряд справа в формуле (Шаблон:EquationNote) является степенным рядом, выраженном в терминах (обобщённых) биномиальных коэффициентов

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}):=\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}.$

Специальные случаи

Если $\alpha$ является неотрицательным целым числом n, то $(n+2)$-й член и все последующие члены в последовательности равны 0, поскольку каждый из них содержит множитель $(n-n)$, так что в этом случае ряд конечен и образует алгебраическую формулу бинома Ньютона.

Следующие выражения верны для любого комплексного $\beta$, но они особенно полезны для работы с отрицательными целыми степенями в формуле (Шаблон:EquationNote):

$\frac{1}{(1-z{)}^{\beta +1}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\beta }{k})z^k.$

Чтобы это доказать, подставим $x=-z$ в выражение (Шаблон:EquationNote) и применим тождество для биномиальных коэффициентов

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\beta -1}{k})=(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\beta }{k}).$

Сходимость

Условия сходимости

Сходится ли ряд в формуле (Шаблон:EquationNote), зависит значений комплексных чисел $\alpha$ и Шаблон:Mvar. Точнее:

• Если $|x|<1$, ряд сходится абсолютно для любого комплексного $\alpha$.
• Если $\left|x\right|=1$ ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда либо $Re(\alpha )>0$, либо $\alpha =0$, где $Re(\alpha )$ означает вещественную часть $\alpha$.
• Если $\left|x\right|=1$ и $x\ne -1$ ряд сходится тогда и только тогда, когда $Re(\alpha )>-1$.
• Если $x=-1$ ряд сходится тогда и только тогда, когда либо $Re(\alpha )>0$, либо $\alpha =0$.
• Если $\left|x\right|>1$ ряд расходится, за исключением случая, когда $\alpha$ — неотрицательное целое число (в этом случае ряд становится конечной суммой).
В частности, если $\alpha$ не является отрицательным целым числом, ситуация на границе круга сходимости Шаблон:Nowrap приведена ниже:
• Если $Re(\alpha )>0$ ряд сходится абсолютно.
• Если $-1<Re(\alpha )⩽0$ ряд сходится условно, если $x\ne -1$, и расходится, если $x=-1$.
• Если $Re(\alpha )⩽-1$ ряд расходится.

Тождества, используемые в доказательстве

Следующее выполняется для любого комплексного числа $\alpha$:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{0})=1,$

Шаблон:NumBlk Если $\alpha$ не является неотрицательным целым (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются, когда $k$ больше $\alpha$), имеет место следующее асимптотическое соотношение для биномиальных коэффициентов в терминах «o» малое:

Это, фактически, эквивалентно определению Эйлера для гамма-функции:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{k!k^z}{z(z+1)\cdots (z+k)},$

откуда немедленно следуют грубые границы

Шаблон:NumBlk для некоторых положительных констант m и M.

Формула (Шаблон:EquationNote) для обобщённых биномиальных коэффициентов может быть переписана как Шаблон:NumBlk

Доказательство

Для доказательства (i) и (v) применим признак Д’Аламбера и используем формулу (Шаблон:EquationNote) выше, чтобы показать, что когда $\alpha$ не является неотрицательным целым, радиус сходимости в точности равен 1. Утверждение (ii) следует из формулы (Шаблон:EquationNote) путём сравнения с обобщённым гармоническим рядом

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^p},$

с $p=1+\mathrm{Re}\alpha$. Для доказательства (iii) сначала используем формулу (Шаблон:EquationNote), чтобы получить

а затем используем (ii) и снова формулу (Шаблон:EquationNote) для доказательства сходимости правой части, когда $\mathrm{Re}\alpha >-1$. С другой стороны, ряд не сходится, если $|x|=1$ and $\mathrm{Re}\alpha ⩽-1$, снова по формуле (Шаблон:EquationNote). Иначе можно заметить, что для всех $j$, $|\frac{\alpha +1}{j}-1|⩾1-\frac{\mathrm{Re}\alpha +1}{j}⩾1$. Тогда, по формуле (Шаблон:EquationNote), для всех $k,\left|(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})\right|⩾1$. Это завершает доказательство утверждения (iii). Перейдём к (iv) и используем тождество (Шаблон:EquationNote) выше с $x=-1$ и $\alpha -1$ вместо $\alpha$, и используем формулу (Шаблон:EquationNote), чтобы получить

$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})(-1{)}^k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -1}{n})(-1{)}^n=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-\alpha +1)n^{\alpha }}(1+o(1))$

при $n\to \mathrm{\infty }$. Утверждение (iv) следует теперь из асимптотического поведения последовательности $n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log (n)}$. (А именно, $\left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\mathrm{Re}\alpha \log n}$ определённо сходится к $0$, если $\mathrm{Re}\alpha >0$ и расходится к $+\mathrm{\infty }$, если $\mathrm{Re}\alpha <0$. Если $\mathrm{Re}\alpha =0$, то $n^{-\alpha }=e^{-i\mathrm{Im}\alpha \log n}$ и сходится тогда и только тогда, когда последовательность $\mathrm{Im}\alpha \log n$, что определённо выполняется, если $\alpha =0$, но неверно, если $\mathrm{Im}\alpha \ne 0$).

Суммирование биномиальных рядов

Обычный подход к вычислению суммы биномиального ряда следующий. Если продифференцировать почленно биномиальный ряд в круге сходимости $\left|x\right|<1$ и использовать формулу (Шаблон:EquationNote), можно получить, что сумма ряда является аналитической функцией, решающей Обыкновенное дифференциальное уравнение $(1+x)u^{\prime }(x)=\alpha u(x)$ с начальным значением $u(0)=1$. Единственным решение этой задачи является функция $u(x)=(1+x{)}^{\alpha }$, которая, поэтому, и является суммой биномиального ряда, по меньшей мере для $\left|x\right|<1$. Равенство расширяется до $\left|x\right|=1$, если ряд сходится, согласно следствию из теоремы Абеля и непрерывности $(1+x{)}^{\alpha }$.

История

Первые результаты о биномиальном ряде для неположительных целых степеней получены Исааком Ньютоном при изучении площадей, ограниченных определёнными кривыми. Джон Валлис нашёл на основе этой работы, рассматривая выражения вида $y=(1-x^2{)}^m$, где m дробно, что (выражаясь современным языком) последующие коэффициенты $c_k$ при $(-x^2{)}^k$ получаются путём умножения предыдущего коэффициента на $\frac{m-(k-1)}{k}$ (как в случае целых степеней), посредством чего дал формулу для этих коэффициентов. Он в явном виде записал следующие выраженияШаблон:Efn

$(1-x^2{)}^{1/2}=1-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}-\frac{x^6}{16}\cdots$

$(1-x^2{)}^{3/2}=1-\frac{3x^2}{2}+\frac{3x^4}{8}+\frac{x^6}{16}\cdots$

$(1-x^2{)}^{1/3}=1-\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{9}-\frac{5x^6}{81}\cdots$

Биномиальный ряд, поэтому, иногда называется биномиальной теоремой Ньютона. Ньютон не привёл никаких доказательств и никаких указаний о природе данного ряда. Позднее, в 1826 году Нильс Хенрик Абель обсуждал ряд в статье, опубликованной в журнале Крелле и рассмотрел важные вопросы сходимостиШаблон:Sfn.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Бином Ньютона

Примечания

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:PlanetMath
• Шаблон:SpringerEOM