Асимптотический анализ

Асимптотический анализ — метод описания предельного поведения функций.

Например, в функции $f(n)=n^2+3n$ при стремлении $n$ к бесконечности слагаемое $3n$ становится пренебрежимо малым по сравнению с $n^2$, поэтому про функцию $f(n)$ говорят, что она «асимптотически эквивалентна $n^2$ при $n\to \mathrm{\infty }$», что зачастую также записывают как $f(n)\sim n^2$. Примером важного асимптотического результата является теорема о распределении простых чисел. Пусть $\pi (x)$ обозначает функцию распределения простых чисел, то есть, $\pi (x)$ равна количеству простых чисел, которые меньше либо равны $x$, тогда теорема может быть сформулирована как $\pi (x)\sim \frac{x}{\log x}$.

Асимптотическое равенство

Шаблон:Основная статья Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — некоторые функции. Тогда бинарное отношение $\sim$ определяется таким образом, что

$f(x)\sim g(x)(\text{при }x\to \mathrm{\infty })$

если и только если

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1.$

Функции $f$ и $g$ при этом называются асимптотически эквивалентными, так как $\sim$ является отношением эквивалентности для функций над $x$. Областью определения $f$ и $g$ при этом может быть любое множество, в котором имеет смысл понятие предела: вещественные числа, комплексные числа, натуральные и т. д. Те же обозначения также используются для других предельных ограничений на $x$, таких как $x\to 0$. Конкретный предел обычно не указывают если он понятен из контекста.

Определение выше распространено в литературе, однако оно теряет смысл если $g(x)$ принимает значение $0$ бесконечное число раз. Поэтому некоторые авторы используют альтернативное определение в терминах O-нотации:

$f(x)-g(x)\in o(g(x)).$

Данное определение эквивалентно приведённому выше если $g(x)$ отлично от нуля в некоторой окрестности предельной точки.

Свойства

Если $f\sim g$ и $a\sim b$, то при некоторых естественных ограничениях верно следующее:

• $f^r\sim g^r$, для любого вещественного $r$
• $\log (f)\sim \log (g)$
• $f\times a\sim g\times b$
• $f/a\sim g/b$

Указанные свойства позволяют свободно менять асимптотически эквивалентные функции друг на друга в некоторых алгебраических выражениях.

Примеры асимптотических формул

• Формула Стирлинга для факториалов

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

• Количество способов разбить натуральное число $n$ в неупорядоченную сумму натуральных чисел

$p(n)\sim \frac{1}{4n\sqrt{3}}{e}^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}}$

• Функция Эйри $Ai(x)$ — решение дифференциального уравнения $y^{″}-xy=0$

$\mathrm{Ai}(x)\sim \frac{e^{-\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}}}{2\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}$

• Функции Ганкеля

$\begin{array}{cc}{H}_{\alpha }^{(1)}(z)& \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}}{e}^{i(z-\frac{2\pi \alpha -\pi }{4})}\\ H_{\alpha }^{(2)}(z)& \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}}{e}^{-i(z-\frac{2\pi \alpha -\pi }{4})}\end{array}$

Асимптотическое разложение

Шаблон:Main Асимптотическим разложением функции $f(x)$ называют выражение функции в виде ряда, чьи частичные суммы могут не сходиться, но при этом любая частичная сумма даёт правильную асимптотическую оценку $f$. Таким образом, каждый следующий элемент асимптотического разложения даёт чуть более точное описание порядка роста $f$. Другими словами, если $f=g_1+g_2+g_3+\dots$ — асимптотическое разложение $f$, то $f\sim g_1,$ $f-g_1\sim g_2$ и, в общем случае, $f-g_1-\cdots -g_{k-1}\sim g_k$ для любого $k$. В соответствии с определением $\sim$ это значит, что $f-(g_1+\cdots +g_k)=o(g_k)$, то есть, $f-(g_1+\cdots +g_k)$ растёт асимптотически значительно медленнее $g_k.$

Если асимптотическое разложение не сходится, то для любого аргумента $x$ найдётся некоторая частичная сумма, которая наилучшим образом приближает функцию в этой точке, а дальнейшее добавление слагаемых к ней будет лишь уменьшать точность. Как правило, число слагаемых в такой оптимальной сумме будет увеличиваться с приближением к предельной точке.

Примеры асимптотических разложений

• Гамма-функция

$\frac{e^x}{x^x\sqrt{2\pi x}}\mathrm{\Gamma }(x+1)\sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots (x\to \mathrm{\infty })$

• Интегральная экспонента

$x{e}^x{E}_1(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}n!}{x^n}(x\to \mathrm{\infty })$

• Функция ошибок

$\sqrt{\pi }x{e}^{x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n-1)!!}{n!(2x^2{)}^n}(x\to \mathrm{\infty })$

где Шаблон:Math — двойной факториал.

Применения

Асимптотический анализ используется:

• В прикладной математике для построения численных методов решения уравнений.
• В математической статистике и теории вероятностей для определения предельных свойств случайных величин и статистических оценок.
• В информатике при анализе алгоритмов и их времени работы.
• В статистической физике при анализе поведения физических систем.
• В анализе катастроф при определении причин катастрофы моделированием множества катастроф в том же месте.

Асимптотический анализ является ключевым инструментом изучения дифференциальных уравнений, возникающих в математическом моделировании явлений реального мира. Как правило, применение асимптотического анализа направлено на исследование зависимости модели от некоторого безразмерного параметра, который предполагается пренебрежимо малым в масштабах решаемой задачи.

Асимптотические разложения, как правило, возникают при приближенных вычислениях некоторых интегралов (метод Лапласа, метод перевала) или распределений вероятности (ряд Эджворта). Примером расходящегося асимптотического разложения являются графы Фейнмана в квантовой теории поля.

См. также

• Асимптота
• Асимптотическая плотность (в теории чисел)
• «O» большое и «o» малое
• Асимптотически достоверное событие

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Ссылки

• Asymptotic Analysis  — home page of the journal, which is published by IOS Press
• A paper on time series analysis using asymptotic distribution